mateforum.ro

Incepand cu data de 9 noiembrie 2009, ora 12.00, in cadrul Facultatii de Matematica si Informatica, Universitatea Bucuresti, se va tine seminarul stiintific "Teoria numerelor si Criptografie", Conf. Dr. Alexandru Gica. Subiectele abordate in cadrul seminarului vor fi discutate la prima int...

Voi folosi urmatoarele doua teoreme: Teorema 1. Daca n\geq 6 \Rightarrow (\exist)\ p,\ q numere prime a.i. n<p<q<2n. Teorema 2. Daca n\geq 5 \Rightarrow p_{n+3}<2p_n , unde p_n este al n - lea numar prim. Aplicand Teorema 1 ( n\geq 4 \Rightarrow n! \geq 24 ), rezulta ca exista doua numere prime p,\ ...

Pentru a rezolva in numere intregi ecuatia lui Fermat, vom presupune cunoscute: 1) \mathbb{Z}[i\sqrt{2}] este inel euclidian; 2) U(\mathbb{Z}[i\sqrt{2}])=\{\pm1\} ; 3) Fie R un inel factorial si a\cdot b=c^k,\ k\in\mathbb{N},\ k\geq 2, \ (a,b)=1,\ a,b,c\in R . Atunci a\sim a_1^k,\ b\sim b_1^k,\ a_1,...

Sa se justifice urmatoarele reguli de deductie: 1) Regula modus ponens (sau regula concluziei): Daca enunturile P si P \rightarrow Q sunt adevarate, atunci si enuntul Q este adevarat. Pentru urmatoarele doua reguli de deductie consideram un predicat oarecare P\equiv P(x) ce contine variabila x (si e...

O problema inrudita mai interesanta: Gasiti x,y{\in\mathbb}Q , cu 0<x<y a.i. x^y=y^x . Solutia e destul de surprinzatoare: x=(1+1/n)^n,\,y=(1+1/n)^{n+1} cu n\in{\mathbb}N^* . Singura solutie intreaga se obtine pentru n=1 . Observati ca atunci cand n creste x si y se apropie de e , unul dinspre stan...

Deoarece am postat de ceva timp problema si nu s-a dat un raspuns, voi rezolva punctul a). In cazul problemelor de constructie, avem in vedere urmatorul algoritm: 1) Analiza: Presupunem constructia facuta si analizam pe figura elementele cunoscute si cum le putem afla pe cele cerute. 2) Constructia:...

Vom calcula mai intai \Phi_n(1),\ n\in\mathbb{N},\ n>1 . Daca n=p^m , unde p este numar prim si m>0 , atunci \Phi_{p^m}(X)=X^{(p-1)p^{m-1}}+X^{(p-2)p^{m-1}}+...+X^{p^{m-1}}+1. Deci, \Phi_{p^m}(1)=p. Pentru cazul n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_k^{\alpha_k},\ \alpha_i\in\mathbb{N}...

Fie \( p \) un numar prim, \( p\geq7 \) si \( \frac{1}{p}=0,(a_1...a_n) \). Atunci \( n=p-1 \) sau \( n\ |\ p-1 \) (\( n \) divizor propriu al lui \( p-1 \)).

Fie \( C(\mathbb{Q})\ :\ y^2=x^3+bx \), cu \( b\in\mathbb{Z} \) si \( p^4 \) nu divide \( b \), \( (\forall)\ p \) numar prim. Sa se determine grupul punctelor de ordin finit de pe aceasta curba eliptica.

Vom folosi urmatoarea Propozitie. Fie curba eliptica C(\mathbb{Q})\ :\ y^2=x^3+ax^2+bx+c=f(x),\ \Delta_f\neq 0,\ p un numar prim care nu divide 2\Delta_f . Fie curba C(\mathbb{Z}_p)\ :\ y^2=x^3+\overline{a}x^2+\overline{b}x+\overline{c},\ \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in\mathbb{Z}_p si \mat...

Ecuatia a fost propusa de Ramanujan in 1913 si rezolvata de Nagell in 1948. Urmatoarea solutie este elementara (poate cea mai elementara), ea fiind insa destul de lunga. Presupunem cunoscut faptul ca \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{7}}{2}] este inel euclidian si ca U(\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{7}}{2}])=\{\...

C(\mathbb{Q})\ :\ y^2=x^3-372x+2761=f(x) Daca f(x)=x^3+ax^2+bx+c,\ a,b,c\in\mathbb{Z} , atunci \Delta_f=a^2b^2-4a^3c-4b^3+18abc-27c^2 este discriminantul lui f . In cazul nostru, \Delta_f=-4\cdot(-372)^3-27\cdot2761^2=205915392-205824267=91125=3^6\cdot5^3 Vom folosi urmatoarea: Propozitie. Fie curb...

Problema este simpla si se poate rezolva prin doua metode. Metoda I Pentru a aduna doua puncte de pe o curba eliptica C(\mathbb{Q})\ :\ y^2=x^3+ax^2+bx+c,\ a,b,c\in\mathbb{Z} avem nevoie de urmatoarele formule: Propozitie. Fie P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2),\ P_1*P_2(x_3,y_3)\in C(\mathbb{Q}) . Au loc ...

Sa se decripteze urmatorul text (in limba engleza), stiind ca s-a folosit pentru criptare sistemul RSA cu cheia (n,e)=(536813567, 3602561):
BNBPPKZAVQZLBJ.

Sa se determine rangul si generatorii curbei eliptice:
\( C(\mathbb{Q}):y^{2}=x^{3}-11 \).

Se poate demonstra mai rapid ca |\mathscr{Cl}_{K}| = 1 si implicit ca inelul A = \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}] este principal, folosind functia numita caracterul patratic al corpului K = \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) si notata \chi(x) , unde x este un numar intreg relativ prim cu discriminantul corpul...

Sa se arate ca 7 este numar congruent.

Remarca: Un numar \( n \in \mathbb{N}^{*} \) se numeste numar congruent daca exista un triunghi dreptunghic cu laturile rationale si aria \( n \).