Inelul Z[(1+i\sqrt{19})/2] nu e euclidian, dar e principal

[Cezar Lupu]

Sa se arate ca inelul \( \mathbb{Z}\left[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}\right] \) este principal si nu este euclidian.

[Alin Galatan]

Momentan, doar faptul ca este neeuclidian.
Aratam ca \( U(R)=\{1,-1\} \)
Fie \( x\in U(R)\Rightarrow\exists y\in R \) astfel ca \( xy=1\Rightarrow |x|^2|y|^2 = 1 \). Dar \( |x|^2\in Z \), de unde iese rapid \( U(R)=\{1,-1\} \).
Presupunem ca R e euclidian, deci exista \( \phi \) un algoritm euclidian.
Fie \( 0\neq x\notin U(R) \) astfel incat \( \phi(x) \) sa fie minim.
Fie \( I=xR \) si \( y\in R\backslash \{-1, 0, 1\} \). Atunci exista \( q,r\in R \) astfel incat \( y=xq+r \) cu r=0 sau \( \phi(r)<\phi(x) \). Cum \( \phi(x) \) e minim \( \Rightarrow r=0\Rightarrow y=xq\in xR\Rightarrow R/xR\subset\{\hat{-1},\hat{0},\hat{1}\} \)
Daca notam \( \alpha=\frac{1+i\sqrt{19}}{2} \), de unde \( \alpha^2-\alpha+5=0\Rightarrow \hat{\alpha}^2-\hat{\alpha}+\hat{5}=\hat{0} \) in \( R/xR \), contradictie, deoarece \( \hat{-1},\hat{0},\hat{1} \) nu sunt solutii. Deci R nu e euclidian.
Principal va veni curand

[Iulian Cimpean]

Teorema celui de-al 10-lea corp al lui Gauss zice asa:
Inelul de intregi patratici corespunzator lui d intreg, d liber de patrate e euclidian <=> d apartine {-1,-2,-3,-7,-11} si e principal <=> d e in {-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163}.
Pentru d =-19 e exemplul de mai sus.

[Iulian Cimpean]

O lema: fie R un domeniu pt. care exista o functie \( f:R\to\mathbb{N} \) cu
1) f(a)=0 <=> a=0
2) pt. orice x,y din R, y nu divide x, exista a,b din R a.i. 0<f(ax+by)<f(y).
Atunci R este principal.
(Se ia un ideal nevid si se demonstreaza ca e generat de un x cu f(x) minim, care exista pt ca \( \mathbb{N} \) e bine ordonata.)
Pt. a demonstra ca inelul resp. e principal se ia functia norma N si se demonstreaza ca verifica cele doua conditii din lema. Prima conditie e imediata, deci ramane de gasit a si b (e putin de munca).

[Cristi Popa]

Teorema celui de-al 10-lea corp al lui Gauss zice asa:
Inelul de intregi patratici corespunzator lui d intreg, d liber de patrate e euclidian <=> d apartine {-1,-2,-3,-7,-11} si e principal <=> d e in {-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163}.
Pentru d =-19 e exemplul de mai sus.

Singurele inele patratice imaginare euclidiene sunt:
\( \mathbb{Z}[ i ], \mathbb{Z}[i\sqrt{2}], \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{3}}{2}],
\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{7}}{2}], \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{11}}{2}] \).
Singurele inele patratice imaginare principale care nu sunt euclidiene sunt:

\( \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}],\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{43}}{2}], \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{67}}{2}], \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{163}}{2}]
\).

Remarca Faptul ca sunt principale se demonstreaza folosind teorema lui Hasse-Dedekind, utilizand o extindere a functiei care apare in ipoteza teoremei la corpul de fractii al subinelului lui \( \mathbb{C} \).
Deci exista doar 9 inele patratice imaginare principale (chiar factoriale: rezultatul a fost banuit de Gauss in 1801, dar demonstrat de-abia in 1967.)

Asadar, daca notam cu A inelul intregilor corpului patratic \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \), d intreg liber de patrate, A este euclidian in raport cu norma daca si numai daca \( d \in \{-11,-7,-3,-2,-1,2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73\} \)
A factorial <=> A principal se intampla pentru:
d<0: d in {-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163}
d>0: Gauss a conjecturat ca exista o infinitate de numere d libere de patrate pentru care A este principal.

[Iulian Cimpean]

Fie N norma de care vorbeam. Notez cu R inelul de intregi algebrici pt. \( d=-19 \).
A ramas de demonstrat ca pt. orice x, y din R cu y nu divide x, exista a,b din R ai \( 0<N(ax+by)<N(y) \). Impartim cu N(y) si rezulta 0<N(a(x/y)+b)<1. Dar x si y sunt de forma \( (m+ni \sqrt{19})/2 \) cu m si n de aceeasi paritate. Rezulta ca x/y e de forma \( z=(m+ni\sqrt{19})/p \) cu m, n, p prime intre ele. (p>1 pt. ca y nu divide x!) Deci trebuie sa gasim \( u=a+bi\sqrt{19} \) si \( v=c+di\sqrt{19} \) a.i. N(uz+v)<1. Dupa cateva calcule obtinem \( uz+v=[am-19bn+cp +(an +bm+pd)i\sqrt{19}]/p \), (m,n,p)=1. Deci luam a, b, d astfel incat combinati liniar cu m, n, p sa dea 1 (exista). Scriem \( am-19bn=pq +r \) cu |r|<|p|/2. Alegem c=-q. Deci \( uz+v=(r+i\sqrt{19})/p \), deci \( N(z)=r^2/p^2 +19/p^2<1/4+19/p^2<4 \) pt. orice \( p\geq 3 \).
Mai ramane pt p=2,3,4 de gasit u si v convenabili. N-am stat sa le gasesc.
Sper ca n-am gresit pe la calcule.

[Alin Galatan]

Legat de solutia care am dat-o eu la faptul ca nu e euclidian: acel x care l-am ales acolo se numeste universal side divisor (pe scurt, USD ). Orice inel euclidian care nu e corp are un astfel de USD, demonstratia fiind exact cea mai de sus. Apoi demonstram ca nu are USD, deci nu poate fi euclidian.
(Un USD este un element u neinversabil, astfel ca pentru orice \( x\in R \), sa avem fie \( u|x \), fie sa existe un inversabil y astfel ca \( u|(x+y) \). Se demonstreaza usor ca acel u poate fi ales ca fiind elementul cu imagine minima prin \( \phi \) restrictionat la \( R-U(R) \).)

Momentan, inca nu ma prind de ce doar 19 si celelalte numere enumerate mai sus au proprietatea ca genereaza inele neeuclidiene. De fapt, secretul cred ca sta in acel \( \hat{5} \) din argumentarea faptului ca \( \hat{-1},\hat{0}, \hat{1} \) nu sunt radacini ale lui \( \hat{x}^2-\hat{x}+\hat{5} \). Si ce-i drept, nu am prea argumentat de ce de fapt alea nu sunt radacini.
Un motiv cred ca ar fi ca \( R/xR \) este inel, si cum e inclus in \( \{\hat{-1},\hat{0},\hat{1}\} \) nu prea poate fi decat izomorf cu \( Z_2 \) sau \( Z_3 \), unde intr-adevar alea nu-s radacini.

[Iulian Cimpean]

Gasesti o demonstratie pt faptul ca singurele euclidiene (ma refer la intregii algebrici) sunt pt. d= -1, -2,-3,-7,-11 in Ion D. Ion si Toma Albu - Complemente de teoria algebrica a numerelor. E o lema acolo care le caracterizeaza prin existenta unei norme cu o anumita proprietate. Ma uit maine si postez lema.

[Cristi Popa]

Faptul ca inelul \( \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}] \) este principal se mai poate arata folosind grupul claselor de ideale ale corpului patratic \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \).
Notam:
\( A \) = \( \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}] \) inelul intregilor corpului patratic \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \);
\( \mathscr{Cl}_{K} \) grupul claselor de ideale ale corpului patratic \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \).
-19 \( \equiv \) -3 \( \equiv \) 1 (modulo 4) \( \Rightarrow \) \( \delta_{K} \) = -19, unde \( \delta_{K} \) este discriminantul corpului patratic \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \).
n = s+2t, unde:
n = nr. morfismelor de corpuri de la \( K \) in \( \mathbb{C} \);
s = nr.morfismelor reale;
2t = nr.morfismelor complexe.
Deci, in cazul nostru n = 2, t = 1 si s = 0.
Fie \( \mathsf{C}_{K} \) = \( (\frac{4}{\pi}) \)\( ^{t} \)\( \cdot \)\( \frac{n!}{n^n} \)\( \cdot \)\( \sqrt{|\delta_{K}|} \) constanta lui Minkowski.
\( \mathsf{C}_{K} \) = \( \frac{4}{\pi} \)\( \cdot \)\( \frac{2}{2^2} \)\( \cdot \)\( \sqrt{19} \) < \( \frac{9}{\pi} \) < \( \frac{9}{3} \) = 3, deci orice clasa de ideale ale lui \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \) contine un ideal intreg de norma 1 sau 2.
Asadar, ne propunem sa gasim \( 2A \).
Notam: \( f \) = \( Irr(\frac{1+i\sqrt{19}}{2},\mathbb{Q}) \) = \( X^{2}-X+5 \).
Fie \( \bar{f} \) = \( X^{2}+X+\bar{1} \) \( \in \mathbb{Z}_2[X] \)
\( \bar{f} \) este ireductibil in \( \mathbb{Z}_2[X] \) \( \Rightarrow \) \( 2A \) \( \in Max A \) - (1)
Vom arata ca nu exista ideale ale lui \( A \) de norma 2:
Presupunem ca \( \exists \) \( I \trianglelefteq A \) a.i. \( N(I) = 2 = |\frac{A}{I}| \) \( \Rightarrow \) \( 2A \subseteq I \) \( \Rightarrow \) \( I | 2A \) - (2)
Din relatiile (1) si (2) \( \Rightarrow \) \( I = A \) sau \( I = 2A \)
\( N(A) = |\frac{A}{A}| = 1 \neq 2 \), iar \( N(2A) = 2^2 = 4 \neq 2 \) \( \Rightarrow \) contradictie!
Deci, nu exista ideale de norma 2 ale lui \( A \).
Atunci, conform teoremei lui Minkowski \( \Rightarrow \forall M \trianglelefteq A, M \neq (0) \) \( \Rightarrow \) \( M \equiv A \) \( \Rightarrow \) \( |\mathscr{Cl}_{K}| = 1 \) \( \Leftrightarrow \) \( A \) este factorial \( \Leftrightarrow \) \( A \) este principal.

[Cristi Popa]

Se poate demonstra mai rapid ca \( |\mathscr{Cl}_{K}| = 1 \) si implicit ca inelul \( A \) = \( \mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}] \) este principal, folosind functia numita caracterul patratic al corpului \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \) si notata \( \chi(x) \), unde x este un numar intreg relativ prim cu discriminantul corpului patratic \( K \) = \( \mathbb{Q}(i\sqrt{19}) \).
Folosind functia caracter patratic \( \chi(x) \) se demonstreaza urmatoarea:
Teorema: Numarul claselor de divizori ai corpului \( \mathbb{Q}(\sqrt{-p}) \), in cazul unui numar prim pozitiv \( p \) de forma \( 4n + 3 \) este impar si egal cu:
i) \( V - N \), pentru \( p\equiv7 \) (mod \( 8 \))
ii) \( \frac{1}{3}(V - N) \), pentru \( p\equiv3 \) (mod \( 8 \)), \( p\neq3 \), unde \( V \) este numarul resturilor patratice modulo \( p \) aflate in intervalul \( (0,\frac{p}{2}) \), iar \( N \) numarul neresturilor patratice din acelasi interval.
In cazul nostru \( p=19 \), deci \( \mathbb{Q}(\sqrt{-p})=\mathbb{Q}(i\sqrt{19})=K \).
Resturile patratice modulo 19 sunt: 0,1,4,5,6,7,9,11,16,17, deci \( V=6 \) si \( N=3 \).
\( 19\equiv3 \) (mod \( 8 \)) \( \Rightarrow |\mathscr{Cl}_{K}|=\frac{1}{3}(V - N)=\frac{1}{3}(6 - 3)=1 \) \( \Leftrightarrow \) \( A \) este factorial \( \Leftrightarrow \) \( A \) este principal.