Rezultanta a doua polinoame ciclotomice

[lasamasatelas]

Sa se gaseasca rezultanta a doua polinoame ciclotomice \( \Phi_m(X),\Phi_n(X) \), unde \( m,n\in\mathbb{N}^* \).

Raspuns:
Avem \( R(\Phi_2,\Phi_1)=-1 \) si \( R(\Phi_1,\Phi_2)=1 \). In celelalte cazuri:
\( R(\Phi_n,\Phi_n)=0 \)
Daca \( m=p^kn \) cu \( p \) prim si \( k>0 \) atunci \( R(\Phi_m,\Phi_n)=R(\Phi_n,\Phi_m)=p^{{\phi}(n)} \).
Daca \( \frac{m}{n} \) nu e de forma \( p^k \) cu \( k\in\mathbb{Z} \) si \( p \) prim atunci \( R(\Phi_m,\Phi_n)=1 \)

Indicatie.
Aratati mai intai ca pt. orice \( n>1 \) avem \( \Phi_n(1)=p \) daca \( n=p^k \) cu \( p \) prim si \( k>0 \) si \( \Phi_n(1)=1 \) daca \( n \) nu e putere de prim.

[Cristi Popa]

Vom calcula mai intai \( \Phi_n(1),\ n\in\mathbb{N},\ n>1 \).
Daca \( n=p^m \), unde \( p \) este numar prim si \( m>0 \), atunci \( \Phi_{p^m}(X)=X^{(p-1)p^{m-1}}+X^{(p-2)p^{m-1}}+...+X^{p^{m-1}}+1. \)
Deci, \( \Phi_{p^m}(1)=p. \)
Pentru cazul \( n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_k^{\alpha_k},\ \alpha_i\in\mathbb{N}^*,\ i=\overline{1,k} \) si \( p_1,p_2,...,p_k \) numere prime distincte vom folosi urmatoarea:
Propozitie: Fie \( n\in\mathbb{N}^*,\ n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_k^{\alpha_k},\ \alpha_i\in\mathbb{N}^*,\ i=\overline{1,k} \) si \( p_1,p_2,...,p_k \) numere prime distincte.
Atunci \( \Phi_n(X)=\Phi_{n^,}(X^{n^{,,}}) \), unde \( n^,=p_1\cdot p_2\cdot...\cdot p_k \) si \( n^{,,}=\frac{n}{n^,} \).
Conform Propozitiei precedente avem ca \( \Phi_n(1)=\Phi_{n^,}(1). \) Deci, este suficient sa consideram cazul: \( n=p_1\cdot p_2\cdot...\cdot p_k,\ k\geq 2,\ n_1=\frac{n}{p_k}. \)
Pentru a obtine toti divizorii lui \( n \) este suficient sa inmultim toti divizorii lui \( n_1 \) cu \( p_k \). Asadar, obtinem ca:
\( \Phi_n(X)=\prod_{d\ |\ n}(X^d-1)^{\mu(\frac{n}{d})}=\prod_{d\ |\ n_1}(X^d-1)^{\mu(\frac{n}{d})}\cdot \prod_{d\ |\ n_1}(X^{dp_k}-1)^{\mu(\frac{n}{dp_k})}=\(\Phi_{n_1}(X)\)^{-1}\cdot\Phi_{n_1}(X^{p_k}). \)
Asadar, \( \Phi_n(1)=1. \)
Avem nevoie in continuare de \( R(\Phi_n,X^m-1),\ n>2 \).
Fie \( d=(m,n),\ \xi_1,\xi_2,... \) radacinile primitive de ordinul \( n \) al unitatii si \( \eta_1,\eta_2,... \) radacinile primitive de ordinul \( \frac{n}{d}=n_1 \) ale unitatii. Atunci
\( R(\Phi_n,X^m-1)=\prod_i (\xi_i^m-1)=\prod_i (1-\xi_i^m)=\(\prod_i (1-\eta_i)\)^{\frac{\varphi(n)}{\varphi(n_1)}}\cdot \(\Phi_{n_1}(1)\)^{\frac{\varphi(n)}{\varphi(n_1)}}. \)
Daca \( n\ |\ m \) atunci \( R(\Phi_n,X^m-1)=0. \)
Daca \( m \) nu este divizibil cu \( n,\ n_1\neq1 \) si \( \Phi_{n_1}(1)=1 \) pentru \( n_1\neq p^{\lambda},\ \Phi_{n_1}(1)=p \) pentru \( n_1=p^{\lambda} \). Se obtine, deci:
\( R(\Phi_n,X^m-1)=0 \), pentru \( n_1=\frac{n}{d}=1; \)
\( R(\Phi_n,X^m-1)=p^{\frac{\varphi(n)}{\varphi(n_1)}} \), pentru \( n_1=\frac{n}{d}=p^{\lambda}; \)
\( R(\Phi_n,X^m-1)=1 \), in celelalte cazuri.
Este evident ca \( R(\Phi_n,\Phi_m)\ |\ R(\Phi_n,X^m-1) \) si \( R(\Phi_n,\Phi_m)\ |\ R(\Phi_m,X^n-1). \) Fie \( d=(m,n). \)
Daca \( m \) nu este divizibil cu \( n \) si \( n \) nu este divizibil cu \( m \), atunci \( \frac{m}{d} \) si \( \frac{n}{d} \) sunt diferite de \( 1 \) si prime intre ele.
Rezulta ca \( (R(\Phi_n,X^m-1),R(\Phi_m,X^n-1))=1\Rightarrow R(\Phi_n,\Phi_m)=1. \)
Ramane de considerat cazul in care unul dintre numerele \( m,\ n \) este divizibil prin celalalt. Pentru demonstratie fixam \( n\ |\ m. \)
Daca \( m=n \) atunci \( R(\Phi_m,\Phi_n)=0. \)
Daca \( \frac{m}{n}=p^{\alpha}\Rightarrow R(\Phi_m,X^n-1)=1\Rightarrow R(\Phi_m,\Phi_n)=1. \)
Daca \( m=np^{\lambda}\Rightarrow R(\Phi_m,\Phi_n)=\prod_{\delta\ |\ n}R(\Phi_m,X^{\delta}-1)^{\mu(\frac{n}{\delta})}. \)
Toti factorii din membrul drept sunt egali cu \( 1 \), cu exceptia celor pentru care \( \frac{n}{\delta}=p^\beta,\ \beta\geq2. \)
Daca \( p \) nu divide pe \( n \), ramane un singur factor diferit de \( 1 \) pentru \( \delta=n \) si \( R(\Phi_m,\Phi_n)=R(\Phi_m,X^n-1)=p^{\frac{\varphi(m)}{\varphi(\frac{m}{n})}}=p^{\varphi(n)}. \)
Daca \( p\ |\ n \), raman doi factori diferiti de \( 1 \): pentru \( \delta=n \) si \( \delta=\frac{n}{p}. \) Atunci
\( R(\Phi_m,\Phi_n)=\frac{R(\Phi_m,X^n-1)}{R(\Phi_m,X^{\frac{n}{p}}-1)}=p^{\frac{\varphi(m)}{\varphi(\frac{m}{n})}-\frac{\varphi(m)}{\varphi(\frac{mp}{n})}}=p^{\varphi(m)\(\frac{1}{p^{\lambda-1}(p-1)}-\frac{1}{p^\lambda(p-1)}\)}=p^{\frac{\varphi(m)}{p^\lambda}}=p^{\varphi(n)}. \)
Deci, am obtinut:
\( R(\Phi_m,\Phi_n)=0 \), pentru \( m=n; \)
\( R(\Phi_m,\Phi_n)=p^{\varphi(n)} \), pentru \( m=np^\lambda; \)
\( R(\Phi_m,\Phi_n)=1 \), in celelalte cazuri.

Remarca: Demonstratia de mai sus, demonstratia propozitiei folosite, precum si alte rezultate de teoria rezultantilor se gasesc in
D. Faddeev, I. Sominski, "Recueil d'exercices d'algebre superieure", 1973.