mateforum.ro

din nou banal. Cred ca anul asta la a-10-a s-a batut recordul celor mai simple subiecte din istoria olimpiadei.Localele din multe judete au fost mult mai grele. Pe sursa: rezultate Galati . Pe scurt: legat de P3, punctul (b) (si anume ca cealalta solutie, cand f(x) = 3^x - (x + 2) trece prin 0 de l...

(a) Fie z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} nenule de acelasi modul cu z_1 + z_2 + z_3 = 0 . Sa se arate ca A_j(z_j) sunt varfurile unui triunghi echilateral. (b) Fie n \ge 3 si U_n multimea n -radacinilor unitatii. Sa se determine numarul maxim de elemente ale unei multimi A \subset U_n fara sume zero de ...

Fie \( A = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ 3^x = x + 2 \} \) si \( B = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ \log_3(x + 2) + \log_2(3^x - x) = 3^x - 1 \} \). Aratati ca:

(a) \( A \) este inclusa in \( B \).

(b) \( B \) contine atat numere rationale cat si irationale.

[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 3]

Sa se determine numerele complexe \( z_1, z_2, z_3 \) de acelasi modul, cu proprietatea ca \( z_1 + z_2 + z_3 = z_1z_2z_3 = 1 \).

Gazeta Matematica

[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 2]

Fie \( f, \ g \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f \circ g = g \circ f = -\mathrm{id} \).

(a) Aratati ca functiile sunt impare.
(b) Dati un exemplu care sa verifice proprietatea din enunt.

[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 1]

Olimpiada de Matematica Faza pe Municipiu - 7 Martie 2009 Clasa a IX-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a X-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a XI-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a XII-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Timp de lucru...

Intr-adevar, pentru n = 1,\ 2 , 1 = |x - y| , 1 = |x^2 - y^2| = |x - y| \cdot |x + y| = |x + y| . Din "identitatea paralelogramului" (utilizati |z|^2 = z\overline{z} ), 2(|x|^2 + |y|^2) = |x - y|^2 + |x + y|^2 = 2 , |x|^2 + |y|^2 = 1 . Daca \{|x|, |y|\} = \{0, 1\} , xy = 0 (si reciproc, ev...

Fie \( a, b, c, d > 0 \) care verifica relatia

\( \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{b^2 + c^2} \cdot \sqrt{d^2 + a^2} = (a + c)(b + d) \).

Sa se arate ca \( ac = bd \). Interpretati geometric enuntul dat.

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 4 ]

Fie \( (x_n)_n,\ (y_n)_n \) doua siruri reale, satisfacand relatiile \( x_{n+1} = x_n + 3/y_n \) si \( y_{n+1} = y_n + 1/(12x_n) \), pentru orice \( n \) natural, \( x_0, y_0 > 0 \) oarecare.
Sa se arate ca \( \max\{x_{2008},y_{2008}\} > \sqrt{2009} \).

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 3 ]

Fie \( x, y \in \mathbb{C} \) cu proprietatea ca \( \forall n \) natural nenul, \( |x^n - y^n| = 1 \). Sa se arate ca \( xy = 0 \).

Dinu Serbanescu

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 2 ]

Fie sirul \( (y_n)_n \) definit prin \( y_{n+1} = 2y_n + \sqrt{3y_n^2 - 2} \), \( y_0 = 1 \).
(a) Sa se arate ca sirul este strict crescator.
(b) Sa se arate ca \( (y_n) \subset \mathbb{N} \).

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 1 ]

Olimpiada de Matematica Faza pe Sector, Bucuresti - 14 Februarie 2009 Clasa a IX-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a X-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a XI-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 Clasa a XII-a Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 T...

Echipa de moderatori mateforum va ureaza La multi ani, Craciun Fericit, Sarbatori Imbelsugate (care sa sfideze criza economica), Vacanta Placuta (daca este cazul) si un An Nou plin de succese si realizari pe toate planurile.

Filip C.

PS . Chiar si daca enuntul ar fi fost corect, este de preferat ca in astfel de cazuri enuntul sa fie prezentat in intreaga generalitate, fara "accesorii" de genul "sa se arate ca pentru 2008 ..." sau altele. Nu de alta, dar in caz contrar s-ar putea sa te trezesti cu raspunsuri ...

Pentru k > 1 natural, consideram reteaua patratelor unitate determinate de laticea punctelor de coordonate intregi din primul cadran al planului, avand drept elemente numere reale. Reteaua se numeste constanta daca toate elementele sale sunt egale. Reteaua se numeste k - balansata daca nu este const...

Fie \( m, n > 0 \) naturale satisfacand \( \sqrt{23} > m/n \).
(a) Aratati ca \( \sqrt{23} > m/n + 3/mn \).
(b) Gasiti o infinitate de astfel de perechi \( (m, n) \) astfel incat, in plus, \( \sqrt{23} < m/n + 4/mn \). Construiti si trei exemple numerice.

[ Stelele Matematicii 2008 - Problema 5 ]

Fie un intreg \( n > 1 \). Determinati numarul maxim de valori intregi consecutive care se pot afla in imaginea \( P(\mathbb{Z}) \) a functiei polinomiale asociate unui \( P(x) \in \mathbb{Z}[x] \) de grad \( \mathrm{deg} P = n \).

[ Stelele Matematicii 2008 - Problema 4 ]