Fie \( A = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ 3^x = x + 2 \} \) si \( B = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ \log_3(x + 2) + \log_2(3^x - x) = 3^x - 1 \} \). Aratati ca:
(a) \( A \) este inclusa in \( B \).
(b) \( B \) contine atat numere rationale cat si irationale.
[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 3]
Ecuatie exponentiala si numere rationale
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Ecuatie exponentiala si numere rationale
Life is complex: it has real and imaginary components.
Punctul a) e lejer, dar b) nu e asa evident. Macar motivarea faptului ca ecuatia \( 3^{x}=x+2 \) admite exact \( 2 \) solutii.
\( A\subset B \) deoarece orice \( x\in \mathbb{R} \) care verifica egalitatea \( 3^x=x+2 \) verifica si \( \log_3(x+2)+\log_2(3^x-x)=3^x-1. \)
Ecuatia \( 3^{x}=x+2 \) admite doua solutii, dintre care una este \( 1 \) iar cealalta este din \( (-2,0). \) Acest fapt se poate vedea clar de pe grafic. Presupunand ca aceasta radacina este rationala, de forma \( \frac{a}{b} \) rezulta ca \( 3^ab^b=(a+2b)^b, \) de unde deducem \( b|a. \) Dar \( (a,b)=1 \) asa ca \( \frac{a}{b} \) este intreg. \( -1 \) nu verifica ecuatia asa ca \( A \) contine un rational si un irational. Faptul ca \( A\subset B \) rezolva problema.
\( A\subset B \) deoarece orice \( x\in \mathbb{R} \) care verifica egalitatea \( 3^x=x+2 \) verifica si \( \log_3(x+2)+\log_2(3^x-x)=3^x-1. \)
Ecuatia \( 3^{x}=x+2 \) admite doua solutii, dintre care una este \( 1 \) iar cealalta este din \( (-2,0). \) Acest fapt se poate vedea clar de pe grafic. Presupunand ca aceasta radacina este rationala, de forma \( \frac{a}{b} \) rezulta ca \( 3^ab^b=(a+2b)^b, \) de unde deducem \( b|a. \) Dar \( (a,b)=1 \) asa ca \( \frac{a}{b} \) este intreg. \( -1 \) nu verifica ecuatia asa ca \( A \) contine un rational si un irational. Faptul ca \( A\subset B \) rezolva problema.