Inegalitatea Ptolemeu intr-un patrulater ortodiagonal

[Filip Chindea]

Fie \( a, b, c, d > 0 \) care verifica relatia

\( \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2 + d^2} + \sqrt{b^2 + c^2} \cdot \sqrt{d^2 + a^2} = (a + c)(b + d) \).

Sa se arate ca \( ac = bd \). Interpretati geometric enuntul dat.

[ OLM 2008 Bucuresti, Problema 4 ]

[Marius Mainea]

Fie ABCD un patrulater ortodiagonal, O intersectia diagonalelor OA=a, OB=b, OC=c, OD=d.

Aplicand teorema lui Pitagora si relatia din enunt rezulta \( AB\cdot CD+AD\cdot DC=AC\cdot BD \), deci conform reciprocei teoremei lui Ptolemeu ABCD este inscriptibil si scriind puterea punctului O fata de cerc obtinem concluzia.

[Beniamin Bogosel]

Cat despre inegalitate, aplicand de 2 ori CBS ar rezulta ca membrul stang e mai mare sau egal cu membrul drept. Deci avem egalitate in CBS, de unde rezulta si concluzia.