Integrala si parte fractionara

[Theodor Munteanu]

Sa se calculeze\( {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left\{ {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right\}} dx \)

[turcas]

Pentru \( 0 < \varepsilon < 1 \) si \( n \) suficient de mare, avem:

\( \left\{ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right\}=x^2 \sin{\frac{1}{x}}-n \), pentru orice \( x \in [n + \varepsilon; n+1] \).

Deci

\( \lim\limits_{n \to \infty} \int_{n+\varepsilon}^{n+1} \left\{ x^2 \sin{\frac{1}{x}} \right\} dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{n + \varepsilon}^{n+1} \left( x^2 \sin{\frac{1}{x}} \right) dx -n(1-\varepsilon) \).

Deci limita ceruta este \( \lim\limits_{n \to \infty} \int_{n+\varepsilon}^{n+1} x^2 \left( \frac{1}{x}- \frac{1}{3!x^3}+\frac{1}{5!x^5} - \dots \right) dx - n(1-\varepsilon)= \frac{1-\varepsilon^2}{2} \).

Daca il facem pe \( \varepsilon \to 0 \), obtinem limita \( \frac{1}{2} \).

[Theodor Munteanu]

Ai putea sa explici de ce \( \left\{ x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right\}=x^2 \sin{\frac{1}{x}}-n, \)pentru orice \( x \in [n+\varepsilon,n+1] \)

[Laurentiu Tucaa]

Totul rezulta din \( \{a\}=a-[a] \) si din inegalitatea \( sinx\le x \)