Ecuatii de gr II

[Marius Mainea]

1) Sa se determine a si b intregi astfel incat ecuatia \( (ax-b)^2+(bx-a)^2=x \) sa aiba o radacina intreaga.

M. Becheanu

2) Fie ecuatia \( x^2-(a+b)x+a^2+b^2=\frac{1}{2} \), unde \( a, b\in\mathbb{R}. \)
a) Sa se arate ca ecuatia are cel putin o radacina intreaga daca si numai daca \( a^2+b^2=\frac{1}{2} \).
b) Sa se determine a si b astfel incat ambele radacini sa fie intregi.

L. Panaitopol

[Marius Mainea]

1) \( a=b=\pm1 \)

Intr-adevar ecuatia este echivalenta cu \( (a^2+b^2)-(4ab+1)x+(a^2+b^2)=0 \) cu discriminantul \( \Delta =[1-2(a-b)^2]\cdot[1+2(a+b)^2]\ge 0 \) de unde \( a=b \)

Inlocuind in ecuatie obtinem \( 2a^2=\frac{x}{(x-1)^2}\in\mathbb{Z} \) de unde \( x=2 \) si concluzia.

2)

a) Egalitatea se scrie \( (\frac{x}{2}-a)^2+(\frac{x}{2}-b)^2+\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2} \) si de aici preasupunand ca x este intreg rezulta \( x=\pm1 \) si \( a^2+b^2=\frac{1}{2} \)

Reciproc , evident.

b)