Ecuatii de gradul II
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
Ecuatii de gradul II
Se dau ecuatiile \( x^2+ax+b=0 \) si \( x^2+cx+d=0 \) . Daca ac=2(b+d) sa se arate ca cel putin una din ecuatii are radacini reale .
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
Presupunem prin absurd ca niciuna nu are radacini reale
deci
\( a^2-4b<0 \)
\( c^2-4d<0 \)
de unde b si d sunt strict pozitive.
inmultim relatiile si obtinem
\( a^2c^2<16bd \)
stim ca \( 4(b+d)^2=a^2c^2 \)
din cele 2 relatii obtinem \( 4(b-d)^2<0 \) .
Contradictie!
Asadar macar una dintre ele are radacini reale.
deci
\( a^2-4b<0 \)
\( c^2-4d<0 \)
de unde b si d sunt strict pozitive.
inmultim relatiile si obtinem
\( a^2c^2<16bd \)
stim ca \( 4(b+d)^2=a^2c^2 \)
din cele 2 relatii obtinem \( 4(b-d)^2<0 \) .
Contradictie!
Asadar macar una dintre ele are radacini reale.