Tot o inegalitate

[Claudiu Mindrila]

Demonstrati ca pentru orice numere reale \( a,b,c \in(0, \infty) \) avem \( \frac{a^3}{b(b+c)}+\frac{b^3}{c(c+a)}+\frac{c^3}{a(a+b)} \geq \frac{a+b+c}{2} \).

Costel Anghel, Revista Minus 1/2008

[Marius Dragoi]

Se aplica Cauchy si gata.

[Marius Mainea]

Sa vedem si noi cum se aplica CBS, domnu' Marius.

[Claudiu Mindrila]

Aceasta este si intrebarea mea pentru Marius Dragoi.

[Radu Titiu]

\( \sum \frac{a^3}{b(b+c)}=\sum \frac{a^4}{ab(b+c)} \geq \frac{\left( \sum a^2 \right)^2}{\sum ab^2+\sum abc} \geq \frac{a+b+c}{2} \)

ultima fiind echivalenta cu

\( 2\sum a^4+3 \sum a^2b^2 \geq \sum abc^2+\sum a^3c+3 \sum a^2bc \)

care este adevarata deoarece

\( 3 \sum a^2b^2 \geq 3 \sum a^2bc \) si \( 2\sum a^4 \geq \sum abc^2+\sum a^3c \).

[Claudiu Mindrila]

Frumoasa solutie, Radu Titiu

[Marius Mainea]

Solutia 2

Tripletele \( (\frac{a^3}{b+c},\frac{b^3}{c+a},\frac{c^3}{a+b}) \) si \( (a,b,c) \) sunt invers orientate si atunci

\( \sum {\frac{a^3}{b(b+c)}}\geq\sum{\frac{a^3}{a(b+c)}}=\sum {\frac{a^2}{b+c}\geq\frac{a+b+c}{2} \) conform CBS.