Derivata de 2 ori...

[Lavinia]

Fie \( f: I \subseteq {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R} \) o functie de 2 ori derivabila in \( x_0\in I \).
Demonstrati ca \( \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0 + h) + f(x_0 - h) - 2f(x_0)} {h^2} = f\prime\prime (x_0) \).

[Cezar Lupu]

Draga Lavinia, sigur functia ta nu este de clasa \( C^{3}(\mathbb{R}) \)?

Daca e asa cum cred eu, atunci problema are urmatoarea

Solutie.

Aplicand de doua ori formula lui Taylor in jurul punctului \( x_{0} \), vom obtine existenta punctelor \( c_{1}\in (x_{0},x_{0}+h) \) si \( c_{2}\in (x_{0}-h, x_{0}) \) astfel incat

\( f(x_{0}+h)=f(x_{0})+\frac{f\prime(x_{0})}{1!}h+\frac{f^{(2)}(x_{0})}{2!}h^{2}+\frac{f^{(3)}(c_{1})}{3!}h^{3} \)

si

\( f(x_{0}-h)=f(x_{0})-\frac{f\prime(x_{0})}{1!}h+\frac{f^{(2)}(x_{0})}{2!}h^{2}-\frac{f^{(3)}(c_{2})}{3!}h^{3} \) de unde vom obtine

\( \frac{f(x_{0}+h)+f(x_{0}-h)-2f(x_{0})}{h^{2}}=f^{(2)}(x_{0})+\frac{h}{3}\left(f^{(3)}(c_{1})-f^{(3)}(c_{2})\right) \).
Acum trecand la limita si tinand cont de faptul ca \( f^{(3)} \) este continua rezulta concluzia noastra. \( \qed \)

[Lavinia]

Draga Cezar, eu asa am primit-o....la centru... totul reducandu-se la continuitatea aia de care nu stim nimic...

[Alin Galatan]

Mie problema imi pare putin suspecta: ce inseamna derivata a doua a unei functii intr-un punct? Pentru a o putea defini, trebuie sa exista f', deci f ar trebui sa fie macar derivabila pe o vecinatatea a lui \( x_0 \).

[Alin Galatan]

Am reusit sa fac problema, dar cu conditia suplimentara ca f sa fie derivabila. Altfel, f" nici nu are sens. Deci f nu trebuie neaparat sa fie din \( C^3 \).
Fie \( \psi(h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f\prime(x) \) pt. \( h\neq 0 \) si 0 in 0.
Voi arata ca \( \psi \) e derivabila(se pune problema derivabilitatii doar in 0).
Avem \( \lim_{h\to 0}\frac{\psi(h)-\psi(0)}{h-0}=\lim_{h\to 0}\frac{\psi(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-hf\prime(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f\prime(x+h)-f\prime(x)}{2h}=\frac{f\prime\prime(x)}{2} \) (am aplicat l'Hospital)
Deci \( \psi\prime(0)=\frac{1}{2}f\prime\prime(x) \)
Avem ceva de genul ce a facut Cezar la Taylor:
\( f(x+h)-f(x)-hf\prime(x)=h\psi(h) \)
\( f(x-h)-f(x)+hf\prime(x)=-h\psi(-h) \)
De aici obtinem \( \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{\psi(h)-\psi(-h)}{h}=2\psi\prime(0)=f\prime\prime(x) \)

[bae]

Hai sa ma bag si eu in discutie, ca vad ca s-a ajuns la clasa \( C^3 \) : pai daca functia este de clasa \( C^2 \) se aplica L'Hospital de doua ori si gata!

[aleph]

Hai sa ma bag si eu in discutie, ca vad ca s-a ajuns la clasa \( C^3 \) : pai daca functia este de clasa \( C^2 \) se aplica L'Hospital de doua ori si gata!

E suficient o dată L'Hospital şi de două ori definiţia derivatei, enunţul fiind cel iniţial.
Sau, se poate aplica Taylor cu restul lui Peano.

[Alin Galatan]

Dar cum se defineste a doua derivata, daca consideram f' ca fiind o functie derivabila doar in \( x_0 \)? Pentru a exista derivata, trebuie sa existe \( f\prime(x+h) \) macar pe o vecinatate a lui x.

[aleph]

Dar cum se defineste a doua derivata, daca consideram f' ca fiind o functie derivabila doar in \( x_0 \)? Pentru a exista derivata, trebuie sa existe \( f\prime(x+h) \) macar pe o vecinatate a lui x.

Din chiar definiţia derivatei a doua, f este derivabilă într-o vecinătate a punctului \( x_0 \). Enunţul este deci corect (lipseşte eventual doar faptul că I este interval deschis conţinând \( x_0 \)).

[Alin Galatan]

Corect

[Cezar Lupu]

E suficient o dată L'Hospital şi de două ori definiţia derivatei, enunţul fiind cel iniţial.
Sau, se poate aplica Taylor cu restul lui Peano.

Puteti da mai multe detalii? Ca m-ati facut curios.

[aleph]

E suficient o dată L'Hospital şi de două ori definiţia derivatei, enunţul fiind cel iniţial.
Sau, se poate aplica Taylor cu restul lui Peano.

Puteti da mai multe detalii? Ca m-ati facut curios.

Este exact solutia inițială dar cu restul lui Peano (în loc de Lagrange):
http://eom.springer.de/t/t092300.htm

[Lavinia]

Restul lui Peano fiind?
Si da, era suficient sa fie de clasa \( C^2 \) ca sa iasa imediat...

[aleph]

Nu trebuie să foloseşti restul lui Peano decât dacă vrei să aplici Taylor.
Problema iniţiala are însă soluţie de un rând:

\( \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+h)+f(x_{0}-h)-2f(x_{0})}{h^{2}}
\overset{L^{\prime}H}{=}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f^{\prime}(x_{0}
+h)-f^{\prime}(x_{0}-h)}{2h}= \)
\( =\lim_{h\rightarrow0}\left( \frac{f^{\prime}(x_{0}+h)-f^{\prime}(x_{0})}{2h}+\frac{f^{\prime}(x_{0}-h)-f^{\prime}(x_{0})}{-2h}\right)= \)
\( =\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_{0})+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_{0})=f^{\prime\prime}(x_{0}). \)

[Lavinia]

Personal cred ca gresesti, intrucat se stie ca functia e derivabila numai in \( x_0 \).

[Alin Galatan]

Asta ziceam si eu, dar citeste atenta mai sus. Faptul ca zice ca e de 2 ori derivabila in \( x_0 \), inseamna ca TREBUIE sa existe derivata intai pe o vecinatate a lui \( x_0 \).