O solutie la nivel gimnazial...

[Claudiu Mindrila]

In G.M.-B \( 5-6/2008 \) dl. Gh. Stoica propune urmatoarea problema:
Fie \( k\in \mathbb{N} \) si \( x_1,x_2,...,x_k \) numere reale pozitive. Aratati ca:

\( a) \) daca \( x_1^n+x_2^n+...+x_k^n\leq k \), atunci \( x_1+x_2+...+x_k\leq k, \forall n \in \mathbb{N}^* \);
\( b) \) daca \( x_1+x_2+...+x_k\geq k \), atunci \( x_1^n+x_2^n+...+x_k^n\geq k, \forall n\in \mathbb{N}^* \)

As dori sa stiu daca exista o solutie la nivel de gimnaziu pentru aceasta problema, dat fiind faptul ca problema a aparut la rubrica
"PROBLEME PENTRU CONCURSURI SI OLIMPIADE"

[Laurian Filip]

b) bernulli spune ca \( (1+a)^n \geq 1+an \)

pt \( a=x_k-1 \)

avem \( x_1^n+x_2^n+...+x_k^n \geq \sum (1+n(x_i-1))\geq k+nk-nk=k \)


a) presupunem prin absurd ca \( x_1+x_2+...+x_n \g k \)

avem ca \( x_1+x_2+...+x_n \leq \sum 1+an \leq x_1^n+x_2^n+...+x_k^n \leq k \)

contradictie. deci \( x_1+x_2+...+x_n < k \)

[Claudiu Mindrila]

Filip, Bernouli la nivel gimnazial?

[Laurian Filip]

ti se pare ce aceasta formula depaseste nivelu gimnazial?

\( (1+a)^n \geq 1+an \)

eu la lot la juniori lam invatat...

[Claudiu Mindrila]

Sincer sa fiu da. Din cate stiu eu, Bernoulli se face prin liceu .

[mihai++]

Bernoulli e materie de clasa a7a si se demonstreaza cu
\( (1+x_1)(1+x_2)........(1+x_n)\geq(1+x_1+x_2+...+x_n) \)

[Laurian Filip]

si o demonstratie gimnaziala pentru asta in caz ca e nevoie.

\( (1+x_1)(1+x_2)........(1+x_n)\geq(1+x_1+x_2+...+x_n) \)

\( (1+x_1)(1+x_2)=1+x_1+x_2+x_1x_2>1+x_1+x_1 \) (pentru ca in cazu nostru \( x_1=x_2 \), deci au acelasi semn)

folosim metoda inductiei si presupunem p(k) adevarat.
\( p(k) \):\( (1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_k)>(1+x_1+...+x_k) \)

\( (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)(1+x_{k+1})>(1+x_1+...+x_k)(1+x_{k+1})>(1+x_1+...+x_{k+1}) \) (din P(2))
p(k) implica p(k+1), p(2) adevarat deci p(n) este adevarat \( \forall n \in \mathbb{N} \)

ps: evident este adevarat pentru \( (1+x_n)>0 \) adica \( a>-1 \) in bernoulli

[Radu Titiu]

Bernoulli se poate demonstra cu inegalitatea mediilor pt n variabile.

\( \frac{(1+a)^n+n-1}{n} \geq \sqrt[n]{(1+a)^n} \) \( \Rightarrow \)

\( (1+a)^n \geq 1+na \)

[mihai++]

Filip, inductia e materie de clasa a 9-a ) asa ca solutia lui radu e cea mai buna.

[Laurian Filip]

sunt de acord ca solutia lui e mai buna, si ca iductia e de a 9a. Dar voiam sa demonstrez ce ai zis tu, si asa mi se parea cel mai usor.