Problema de minim

[Marius Dragoi]

Sa se determine \( n \in N \) astfel incat expresia
\( \frac {{2^{\lg 2}}{3^{\lg 3}}\cdots{n^{\lg n}}}{n!} \) sa fie minima.

Marian Ursarescu, Roman

[Bogdan Posa]

Sa se determine \( n \in N \) astfel incat expresia
\( \frac {{2^{\lg 2}}{3^{\lg 3}}\cdots{n^{\lg n}}}{n!} \) sa fie minima.

Marian Ursarescu, Roman

Fie \( A_{n}= \frac {{2^{\lg 2}}{3^{\lg 3}}\cdots{n^{\lg n}}}{n!} \)
\( \frac {A_{n+1}} {A_{n}}= (n+1)^{\lg (n+1)-1} \) pentru \( n \geq 2 \)
Obtinem ca fractia \( \frac {A_{n+1}} {A_{n}} \) este subunitara pentru \( 2 \le n \le 8 \), 1 pentru \( n=9 \) si supraunitara pentru \( n \geq 10 \)
Deci \( A_{2} >A_{3}>...>A_{9}=A_{10}<A_{11}<... \)

Concluzionam ca minimul expresiei se realizeaza pentru \( n=9 \) si \( n=10 \)

Marian Ursarescu, etapa judeteana, 1999

[Marius Dragoi]

Fie \( A_n=\prod _{k=2}^{n} \frac{{k}^{\lg k}}{k} \Rightarrow A_n=\prod _{k=2}^{n}{k}^{\lg \frac{k}{10}} \) , de unde se observa usor ca \( A_1>A_2>...>A_9=A_{10}<A_{11}<... \).
Asadar minimul expresiei este atins pentru \( n=9, n=10 \).

Eu consider ca aceasta problema nu are un grad de dificultate atat de ridicat incat sa nu poata fi rezolvata la clasa.

[Virgil Nicula]

Fie \( A_n=\prod _{k=2}^{n} \frac{{k}^{\lg k}}{k} \Rightarrow A_n=\prod _{k=2}^{n}{k}^{\lg \frac{k}{10}} \) , de unde se observa usor ca \( A_1>A_2>...>A_9=A_{10}<A_{11}<... \).
Asadar minimul expresiei este atins pentru \( n=9, n=10 \).

Eu consider ca aceasta problema nu are un grad de dificultate atat de ridicat incat sa nu poata fi rezolvata la clasa.

OFF-TOPIC. Am inteles eu gresit, Faust, sau tu esti de parere ca la etapa judeteana sa se dea probleme care nu pot fi rezolvate la clasa ?! Inseamna ca pentru tine "clasa" este o entitate "amorfa" ... Atata timp cat in clasa exista cel putin un potential olimpic, profesorul trebuie sa faca cel putin o problema ca aceasta, mai multe sau mai putine in functie de rezultanta clasei . In exprimare academica, un discurs didactic diferentiat. Un potential olimpic s-ar putea plictisi la ore. Atunci eu il tin la tabla cu probleme de acest tip, in picioare, pe un sfert de tabla toata ora. Tie ti-ar placea ?! Sau ma insel, tu abia astepti asemenea ore de matematica ...

ON-TOPIC. Notam \( A\ a.s.\ B \Longleftrightarrow A=B=0\ \vee\ A\cdot B\ >\ 0 \) (acelasi semn), adica \( \mathrm {sgn}\ X=\mathrm {sgn}\ Y \) .

Se arata usor ca pentru orice "baze" \( 0<a\ne 1 \) , \( 0<b\ne 1 \) si pentru orice numere reale \( x \) , \( y \) avem

\( \overline {\underline {\left|\ a^x-a^y\ .a.s.\ (a-1)(x-y)\ \right|}} \) , \( \underline {\overline {\left|\ a^x-b^x\ .a.s.\ x(a-b)\ \right|}} \) si \( \underline {\overline {\left|\ \log_ab\ .a.s.\ (a-1)(b-1)\ \right|}} \) .

Deci \( A_n=\frac {1}{n!}\cdot\prod _{k=2}^{n}{k}^{lg k} \) si \( \frac {A_{n+1}}{A_n}-1=\frac {1}{n+1}\cdot (n+1)^{\lg (n+1)}-1\ .a.s. \)

\( (n+1)^{\lg (n+1)}-(n+1)^{1}\ .a.s.\ [(n+1)-1]\cdot [\lg (n+1)-\lg 10]\ .a.s.\ (n-9) \) .

In concluzie, maximul se atinge pentru \( n=9 \) (sau \( n=10 \)) si \( A_9=A_{10} \) .

[Marius Dragoi]

Sincer...as dori sa fie la ora de matematica numai probleme de olimpiada. Un profesor bun stie cum sa capteze atentia elevilor de varf, asa ca mai pune din cand in cand pe tabla o problema mai dificila.

[Virgil Nicula]

Faust, urmatorul exercitiu este mai greu decat cel de la judeteana din 1999 ?!

Sa se arate ca pentru orice \( x\ >\ 0 \) avem \( \left(x^2+2\right)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)}\ \ge\ (3x)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)} \) .

[Marius Dragoi]

Faust, urmatorul exercitiu este mai greu decat cel de la judeteana din 1999 ?!

Sa se arate ca pentru orice \( x\ >\ 0 \) avem \( \left(x^2+2\right)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)}-(3x)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)}\ge 0 \) .

Fie N=\( \left(x^2+2\right)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)}-(3x)^{\log_{x^2-3x+3}\left(x^2+1\right)} \)
Atunci, \( N \geq 0 \Leftrightarrow {({x^2+1})^{log_{x^2-3x+1}({x^2+2})} - ({x^2+1})^{log_{x^2-3x+3}{3x}} \geq 0 \Leftrightarrow ({x^2+1})^{log_{x^2-3x+3}{({\frac{x^2+2}{3x}})} \geq 1 \)
\( x^2-3x+3=({x-\frac{3}{2}})^2+\frac{3}{4} > 0 \)
Daca \( x^2-3x+3<1 \Rightarrow x^2+2<3x \Rightarrow \frac{x^2+2}{3x}<1 \Rightarrow log_{x^2-3x+3}({\frac{x^2+2}{3x}}) \geq 0 \)
Daca \( x^2-3x+3>1 \Rightarrow \frac{x^2+2}{3x}>1 \Rightarrow log_{x^2-3x+3}({\frac{x^2+2}{3x}) \geq 0 \)
Observatie!!! \( x^2-3x+3 \) diferit de 1.