Shortlist ONM 2003

[Claudiu Mindrila]

Demonstrati inegalitatea \( \frac{(a+b)^3}{c}+\frac{(b+c)^3}{a}+\frac{(c+a)^3}{b} \geq 8(a^2+b^2+c^2). \)

Nicolae Papacu, lista scurta, 2003

[Beniamin Bogosel]

O solutie ar fi urmatoarea:

\( \sum \frac{(a+b)^3}{c}=\sum \frac{a^3}{c}+\sum \frac{b^3}{c}+3\sum \frac{a^2b}{c}+3\sum \frac{ab^2}{c} \).

Acum din inegalitatea lui Cebasev a rearanjamentelor rezulta
\( \sum \frac{a^3}{c}\geq\sum a^2 \) si \( \sum \frac{b^3}{c}\geq\sum a^2 \).

Inegalitatea \( \sum \frac{a^2b}{c}+\sum \frac{ab^2}{c}\geq 2\sum a^2 \) e echivalenta cu \( \sum_{sym} a^3b^2\geq \sum_{sym} a^3bc \), care este adevarata conform inegalitatii lui Muirhead pentru tripletele \( (3,2,0) \geq (3,1,1) \).

Insumand acestea obtinem inegalitatea dorita.

Pentru inegalitatea lui Muirhead incercati cu google (nu am putut sa pun link...).

[Marius Mainea]

marius mainea

Tripletele (\( \frac{(a+b)^2}{c^2}, \)\( \frac{(b+c)^2}{a^2}, \)\( \frac{(c+a)^2}{b^2}) \) si \( (a+b,b+c,c+a) \) sunt la fel orientate, deci putem aplica inegalitatea Cebasev.

Apoi cu CBS si medii rezulta inegalitatea dorita.

[salazar]

O alta abordare:
\( \sum \frac{(a+b)^3}{c}=\sum \frac{(a+b)^4}{ac+bc}\ge(C.B.S)\frac{[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^2}{2(ab+bc+ca)}\ge 8(a^2+b^2+c^2)\Longleftrightarrow (\sum a^2+\sum ab)^2\ge 4(\sum a^2)(\sum ab) \)
Notand \( \sum a^2=x \) si \( \sum ab=y \) ramane de demonstrat ca \( (x+y)^2\ge 4xy\Longleftrightarrow (x-y)^2\ge0 q.e.d \)
Edit: eu am gasit aceasta inegalitate propusa pentru clasa a VIII-a in 2003, cu a,b,c strict pozitive.