mateforum.ro

Are cineva idee cand si unde se afiseaza rezultatele de la barajul din iunie de la Arhimede?

Folosim [x]<x<[x]+1, notam [x]=k si apoi inductie

Stie cineva daca la clasa a 11-a pentru ON intra geometria analitica?

Le poti gasi pe site-ul Inspectoratului Scolar Bucuresti

Caut niste relatii intre o matrice singulara si adjuncta sa sau reciproca (am gasit ambele denumiri pentru aceeasi notiune).

Fie \( a,b\in \mathbb{R} \) si \( (a_n)_{n\ge 1},(b_n)_{n\ge 1} \) siruri de numere reale convergente la \( a \), respectiv \( b \).
Fie \( \sigma \) o permutare a numerelor naturale {\( 1,2,...,n \)}. Sa se arate ca \( \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a_k b_{\sigma(k)}}{n}=ab \).

\( (X+Y)(X-Y)=O_2 \) nu implica faptul ca una dintre paranteze este egala cu \( O_2 \).

\( \sum\frac{x+y}{(x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x})^2}\ge\sum\frac{x+y}{(x^4+y^4)(x+y)}=\sum\frac{1}{x^4+y^4}\ge\frac{9}{2 \sum x^4}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \).

Da, cred ca este gresita. Am luat-o dintr-o culegere mai veche.

Fie \( a,b,c \) trei numere reale strict pozitive cu media aritmetica \( 4\sqrt{2}-1 \).
Demonstrati ca \( \sum\frac{1}{a^2+b}\ge 1 \).

SOLUTIE:
Din T.Cosinusului avem ca \( a=b\cdot\cos C+c\cdot\cos B;b=c\cdot\cos A+a\cdot\cos C;c=a\cdot\cos B+b\cdot\cos A \)
\( LHS=\sum(\frac{a}{\cos B}+\frac{b}{\cos A})=\sum(\frac{a^2}{a\cdot\cos B}+\frac{b^2}{b\cdot\cos A})\ge \sum\frac{(a+b)^2}{c}\ge\fra{(2\sum a)^2}{\sum a}=RHS \).

Din faptul ca \( f(x)=\sin^3 x \) este concava pe \( ( 0,\pi ) \) \( \Rightarrow \sin^3 A+\sin^3 B+sin^3 C\le 3\cdot\sin^3 (\frac{A+B+C}{3})=3\cdot\sin^3 \frac{\pi}{3}=3\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{9\sqrt{3}}{8}<2. \)

Fie \( z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C} \).
Demonstrati ca \( |z_1-z_2||z_3-z_4|+|z_2-z_3||z_4-z_1|\ge |z_1-z_3||z_4-z_2| \).
Cand are loc egalitatea?

Consideram afirmatiile: (S) Pentru orice numar n\in\mathbb{N},n\ge 117 , in intervalul ( n,n+sqrt{n} ) exista cel putin un numar prim. (A) Pentru orice p prim, p\neq 13 , in intervalul ( p,p^2 ) nu exista doua numere prime consecutive q si r astfel incat r-q=p+1 . Sa se demonstreze implicatia (S)\Ri...

Sa se rezolve sistemul in multimea numerelor reale:
\( 2^x+3^y=12 \) si \( 3^x+3^y=36. \)

Am si eu o intrebare in legatura cu propunerea de probleme la gazeta sau trimiterea de articole. Ce conditii sunt? Daca sunt elev, pot trimite probleme sau articole? Cum se procedeaza? Daca trimit o problema, trebuie sa scriu si clasa la care as vrea sa apara ?

a) Demonstrati ca \( \sqrt[n]{n}<\sqrt{2},\forall n\in\mathbb{N},n\ge 5 \).
b) Demonstrati ca \( x_n<n\cdot \log_n{2},\forall n\in\mathbb{N},n\ge 5, \) unde \( x_n={{{{{{\sqrt[n]{n}}^{\sqrt[n]{n}}}^{\sqrt[n]{n}}^{.}}^{.}}^{\sqrt[n]{n}}}} \), numarul radicalilor fiind n.