Fie \( z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C} \).
Demonstrati ca \( |z_1-z_2||z_3-z_4|+|z_2-z_3||z_4-z_1|\ge |z_1-z_3||z_4-z_2| \).
Cand are loc egalitatea?
Inegalitate cu numere complexe
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
BogdanCNFB
- Thales
- Posts: 121
- Joined: Wed May 07, 2008 4:29 pm
- Location: Craiova
Inegalitate cu numere complexe
Last edited by BogdanCNFB on Tue Apr 28, 2009 1:20 pm, edited 1 time in total.
-
Theodor Munteanu
- Pitagora
- Posts: 98
- Joined: Tue May 06, 2008 5:46 pm
- Location: Sighetu Marmatiei
Re: Inegalitate cu numere complexe
\( A(z_1),\ B(z_2),\ C(z_3),\ D(z_4) \)
Inegalitatea de demonstrat devine \( AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD \) care este inegalitatea lui Ptolemeu cu egalitate cand ABCD e inscriptibil, adica \( \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}:\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\in R* \)
Inegalitatea de demonstrat devine \( AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD \) care este inegalitatea lui Ptolemeu cu egalitate cand ABCD e inscriptibil, adica \( \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}:\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\in R* \)
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Re: Inegalitate cu numere complexe
Dem. \( |z_1-z_2|\cdot |z_3-z_4|+|z_2-z_3|\cdot |z_1-z_4|\ge |(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_2-z_3)(z_1-z_4)|=|z_1z_2-z_1z_4-z_2z_3+z_3z_4|=|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4| \) .BogdanCNFB wrote: \( z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}\ \Longrightarrow\ |z_1-z_2||z_3-z_4|+|z_2-z_3||z_1-z_4|\ge |z_1-z_3||z_2-z_4| \) .
Comentariu. Dupa parerea mea, aici ar fi interesant sa demonstrati inegalitatea propusa in universul numerlor complexe si nu prin echivalenta sa geometrica, adica ineg. Ptolemeu sa fie o consecinta si nu folosita in demonstratie, in ipoteza de a fi cunoscuta impreuna cu demonstratia ei sintetica. Mai greu se demonstreaza sintetic ineg. Ptolemeu decat prin numere complexe. Nu de alta, dar sa folosim numerele complexe in geometria sintetica si mai rar sau deloc invers ... Invers este banal, cu conditia sa cunosti bine proprietatile din geometria sintetica impreuna cu demonstratiile acestora. Altfel inseamna a "fenta" problema si nicidecum a o rezolva.