mateforum.ro

Fie A un punct in exteriorul cercului, iar B si C doua puncte de pe acest cerc. Punctele M si N apartin cercului, astfel incit MN trece prin mijlocul segmentului BC si triunghiul AMN este isoscel. Sa se arate ca [AMN]\( \ge \)[ABC], unde [DEF] reprezinta aria triunghiului DEF.

Fie A un punct in exteriorul cercului, iar B si C doua puncte de pe acest cerc. Punctele M si N apartin cercului, astfel incit MN trece prin mijlocul segmentului BC si triunghiul AMN este isoscel. Sa se arate ca [AMN]\( \ge \)[ABC], unde [DEF] reprezinta aria triunghiului DEF.

Fie \omega_1, \omega_2 cercurile de centrele B,D si razele BC,CD respectiv. Notam H \in \omega_1 \cap \omega_2 , M \in GD \cap EH, N \in BG \cap FH . Atunci \left\| \begin{array}{cc} \angle{EHC} = 180^\circ - \frac {1}{2}\angle{D} \\ \\ \angle{FHC} = 180^\circ - \frac {1}{2}\angle{B} \end{array} \r...

cosmin wrote:exista un site unde se pot vedea rezultatele finale???(ma refer la toate tarile participante)

Cu organizarea acestei olimpiade, suna ca o gluma

Nu, fiindca cu un triunghi putem acoperi numai un virf al triunghiului initial.

Poate cineva sa posteze problemele? (Juniori si Seniori)
Multumesc.

Unde putem gasi problemele de la baraje pentru juniori?? (3,4).
Multumesc...

Evident ca \triangle{A\prime BC\prime }\equiv\triangle{A\prime B\prime C}\equiv\triangle{AB\prime C\prime } (ULU) \Rightarrow AC\prime +AB\prime = B\prime C+CA\prime =A\prime B+BC\prime =1 Fie AC\prime =a, AB\prime =b. Aplicam teorema cosinusului in \triangle{AB\prime C \prime} : a^2+b^2-ab=\frac{1}...

Din \( AM-GM \) avem:
\( x+y+z\ge 2\sqrt{x}\cdot\sqrt{y+z} \)
\( \sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{y+z}}\ge \frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z} \)
Prin adunare obtinem:
\( \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge \sum \frac{2x}{z+y+z}=2 \)
cu egalitate numai pentru \( (0;1;1) \)

Fie n=2^k\cdot5^p\cdot m , unde m nu se divide nici cu 5 nici cu 2 . Atunci 10^{\phi (m)}\equiv 1 \pmod{m} . Fie \phi (m)=t . Atunci considerm numarul A=10^t+10^{2t}+\ldots+10^{pn}\equiv n \equiv 0 \pmod m . Deci numarul acesta se divide cu m si are suma cifrelor egala cu n ( n unitati). Daca r=\max...

Avem p^2|(a+b)(a^2-ab+b^2) . Fiindca p|a+b , avem p|\frac{a+b}{p}(a^2-ab+b^2). Fiindca p este prim, avem doua cazuri: 1) p|\frac{a+b}{p} , deci p^2|a+b ; 2) p|a^2-ab+b^2 sau p|(a+b)^2-3ab , de unde p|ab . Fiindca p este prim p divide unul din numerele a,b . Fie p|a , dar p|a+b , deci p|a,b . Atunci ...

Fie A^\prime U=UV=A^\prime V=a . Atunci in triunghiurile BA^\prime V si UA^\prime C avem: \frac{BA^\prime}{a}=\frac{\sin{(120-B)}}{\sin{B}} \frac{CA^\prime }{a}=\frac{\sin{(120-C)}}{\sin{C}} Impartind relatiile obtinem: \frac{CA^\prime }{BA^\prime }=\frac{\sin{(120-C)}\cdot\sin{B} }{\sin{(120-B)}\cd...

Din pacate, nu exista asa pagina.....

a) AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=10 . Atunci OA=5, O,A=2,5. Avem S_{C_1}-S_{C_2}=\pi(OA^2-O,A^2)=18,75\pi b) HE\perp AB , deci AH^2=AB\cdot AE , de unde AE=\frac{AH^2}{AB}=\frac{100}{5\sqrt{5}}=4\sqrt{5} . Fiindca AE=AD , ED\parallel BC . \triangle{AED}\sim\triangle{ABC} . \frac{AE...

Problema foarte cunoscuta.... Asemenea problema cu radicali a fost la Olimpiada Municipala Chisinau in clasa 7. \frac{2\sqrt{n}-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{n}}=\frac{2(\sqrt{n}+\sqrt{3})-7\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{n}}= 2-\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{n}}. Deci \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{n}}\in \...