problema de la teza

[BogdanCNFB]

Se da segmentul \( [AB] \) de lungime \( 2l \). Se ia un punct variabil \( M\in [AB] \) si \( N \) mijlocul lui \( [MB] \). Sa se gaseasca pozitia lui \( M \) astfel incat suma ariilor cercurilor de diametru \( [AM] \), \( [MN] \), respectiv\( [NB] \) sa fie minima.

[Ahiles]

Suma ariilor cercurilor este egala cu \( \frac{\pi}{4}(AM^2+MN^2+NB^2) \). Trebuie sa aflam \( \min\{AM^2+MN^2+NB^2\} \). Dar:
\( AM^2+MN^2+BN^2 \ge \frac{1}{2} (AM+MN+NB)^2=2l^2 \). Cu egalitate daca \( AM=BN=MN \)