mateforum.ro

\( x^3-3x^2=y^3-3y^2 \)
\( x^3-y^3=3x^2-3y^2 \)
\( (x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y) \)
Cum \( x \neq y \Rightarrow x^2+xy+y^2=3(x+y) \)
Analog \( y^2+zy+z^2=3(z+y) \) si \( z^2+zx+x^2=3(z+x) \)
\( \Rightarrow y^2+zy+z^2-z^2-zx-x^2=3(y-x) \)
\( \Leftrightarrow (y+x)(y-x)+z(y-x)=3(y-x) \)
\( \Leftrightarrow y+x+z=3 \)

Deschid un post pentru pareri despre world cup 2010. Cine credeti ca o sa castige?

Te-am lasat. Maine Arhimede

Nici o problema, si eu folosesc de astazi LaTeXul . Frumoasa rezolvare Te-ai uitat la problema de geometrie?:-?

Daca a, b, c > 0, sa se demonstreze inegalitatea
\( \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} + \frac{1}{2c} \geq \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \)

Sã se arate cã dacã x, y, z sunt numere reale nenule astfel încât x + y + z = 0, atunci
\( \frac{x^2 + y^2}{x+y} + \frac{y^2 + z^2}{y+z} + \frac{z^2 + x^2}{z+x} = \frac{x^3}{yz} + \frac{y^3}{zx} + \frac{z^3}{xy} \).

Eu am considerat 3 cazuri: PA<PB, PA=PB si PA>PB. Pentru PA>PB nu se verifica teorema lui Ceva, pentru ca aveam ca o fractie subunitara e egala cu o fractie supraunitara;)

Frumoasa rezolvare

Se consideră a, b, c trei numere întregi.
1) Să se demonstreze că numărul
\( x=(a-b)^2(a-c)^2+(b-c)^2(b-a)^2+(c-a)^2(c-b)^2 \) este pătrat perfect.
2) Dacă există un număr înteg d cu proprietatea că \( a^3+b^3+c^3=4d^3 \), să se demonstreze că 3 divide abc.

Măsura celui mai mic unghi A al triunghiului ascuţitunghic ABC este egală cu 45^\circ . Fie D apartinand lui (AC) piciorul înălţimii dusă din vârful B. Cercul înscris în triunghiul BCD are centrul în punctul O, iar dreapta BD este tangentă la acest cerc în punctul E. Demonstraţi că dreptele OC şi EF...

Determinati numerele naturale n care verifica relatia: \( 1 + 5^n +6^n = 2^n + 3^n + 7^n \).

Sper ca se intelege scrisul

Ok. Din pacate nu am programul LaTeX, asa ca voi posta fotografia pe care am trimis-o



Uploaded with ImageShack.us



Uploaded with ImageShack.us

Da. Eu am postat subiectul, dupa cum se poate vedea, nu numai dupa afisarea baremului, ci dupa afisarea chiar a clasamentului. O zi buna

Fie P un punct pe un cerc cu diametrul AB si e punctul M 2 AB astfel incat PM perpendicular pe AB. Cercurile cu diametrele MA si MB intersecteaza segmentele AP si BP in Q respectiv R. Aratati ca dreapta QR este o tangenta comuna a celor doua cercuri.

Si mai exact ce ai scris?:-?

Problemele 3 si 4 au fost postate de catre Andi Brojbeanu in Juniori -> Geometrie -> IMAC 2010
Iar problema 2 este una in care tre sa faci niste figuri...