mateforum.ro

Pe aceeasi solutie un prieten a luat 7 puncte.

Intr-un triunghi \( ABC \) exista relatia: \( \frac{1}{r}+\frac{1}{r_{a}}\leq\frac{1}{R}\left(\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}\right) \). Demonstrati ca \( m(\angle A)=90^{\circ} \).

Gazeta Matematica nr. 10/2007

Fie \( n\geq 2 \) un numar natural. Sa se determine numerele reale \( a_1,a_2,...,a_n\in(1,\infty) \) stiind ca \( a_1a_2\cdot...\cdot a_n=2^n \) si:

\( \log_{a_{1}}{(a_1-1)}+\log_{a_{2}}{(a_2-1)}+...+\log_{a_{n}}{(a_n-1)}=0 \)


Gazeta Matematica- Dan Seclaman si Lucian Tutescu

Daca \( a,b,c \) sunt lungimile laturilor unui triunghi, iar \( R \) este raza cercului circumscris si \( S \) aria, sa se arate ca in ipoteza \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=4 \) avem \( 6R^{2}+S^{2}\geq 3. \)

Vasile Cârtoaje

Fie A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime} respectiv, puncte pe laturile (BC),(AC),(AB) ale unui triunghi ABC şi numărul k\geq 1 astfel ca: \frac{1}{k}\leq\frac{AC^{\prime}}{BC^{\prime}}\leq K, \ \ \ \ \frac{1}{k}\leq\frac{BA^{\prime}}{CA^{\prime}}\leq K, \ \ \ \ \frac{1}{k}\leq\frac{CB^{\prime}}{AB^{\pri...

Concursul Al. Myller se tine in timpul olimpiadei nationale?

Sa se arate ca in orice triunghi avem:
\( \frac{m_{a}^{2}}{1+\cos A}+\frac{m_{b}^{2}}{1+\cos B}+\frac{m_{c}^{2}}{1+\cos C}\ge9Rr. \)

Gazeta Matematica, nr.2/2009

Fie z_{1},z_{2},z_{3} numere complexe de acelasi modul nenul cu z_{1}+z_{2}+z_{3} diferit de 0 . Se considera punctele A(\frac{z_2+z_3}{z_1}), B(\frac{z_3+z_1}{z_2}),C(\frac{z_1+z_2}{z_3}) . a) Determinati centrul cercului circumscris triunghiului ABC . b) In ce conditii triunghiul este echilateral?...

Determinati numerele complexe care verifica relatiile:
\( a^{3}+b^{3}+c^{3}=24 \)
\( (a+b)(b+c)(c+a)=64 \)
\( |a+b|=|b+c|=|c+a| \)

Nicolae Musuroaia, Lista scurta ONM 2006

S-a adus in discutie tipul acesta de tetraedre aici. Pentru ca nu s-a facut o prezentare a acestora (nefiind foarte cunoscute) am facut eu si nu am gasit alt loc unde sa o postez.

Tetraedre Crelle (tetraedre carcasa) Teorema Fiin dat un tetraedru ABCD , exista o sfera tangenta celor sase muchii ale tetraedrului, daca si numai daca are loc relatia AB+CD=AC+BD=AD+BC . Demonstratie Daca exista sfera S , fie A^{\prime} , B^{\prime} , C^{\prime} punctele de contact cu laturile ba...

O conditie necesara si suficienta ca tetraedrul ABCD sa fie echifacial este ca orice pereche de muchii opuse sa fie egale. Atunci putem face notatiile a=c=x , b=d=y , e=f=z . Din enunt obtinem ca numerele \frac{x+y}{z} , \frac{y+z}{x} , \frac{z+x}{y} sunt numere naturale. Facem notatiile \frac{x+y}...

Intr-adevar pentru un tetraedru Crelle cu proprietatea(1): a+c=b+d=e+f=k\ge0 avem \frac{a+b+c+d}{e+f}=\frac{a+c+e+f}{b+d}=\frac{b+d+e+f}{a+c}=2 . Dar cum din enunt tetraedrul este echifacial avem a=c , b=d , e=f de unde obtinem 2a=2b=2c=2d=2e=2f si de aici concluzia ca ABCD este tetraedru regulat. (...

Despre Tetraedre Crelle sau Tetraedre Carcasa gasiti cateva informatii aici.

Se arata inductiv ca \( n-2\leq x_n<n-1 \) pentru \( n\geq3 \) deci \( [x_n] \)=n-2 .

Cam toate olimpiadele si concursurile sunt sambata dimineata asa ca putem sa facem un efort (macar de dragul matematicii). Mie imi este indiferenta ora.