mateforum.ro

n^2-5n+6=(n-2)(n-3) => este numar par (produs de numere consecutive). La fel n^2+n . Rezulta ca suma ceruta este S=(n^2-5n+7)+(n^2-5n+9)+.......+(n^2+n-1) Este o progresie aritmetica de ratie 2. Notam k numarul de termeni. a_1=n^2-5n+7 a_k=n^2+n-1 Cum a_k=a_1+(k-1)r => k=3n-3 S=S_k=\frac{k(a_1+a_k)...

Notam \( c=x+2a-3b,\ d=2x-3a+b. \) Rezulta \( c+d= 3x-a-2b \). Ecuatia va fi de forma

\( c^3+d^3=(c+d)^3 \)
\( 3cd(c+d)=0 \)

Sunt trei solutii:
\( x_1=-2a+3b \)
\( x_2=\frac{3a-b}{2} \)
\( x_3=\frac{a+2b}{3} \)

\( (a^2+b^2+c^2)(2^2+3^2+5^2)\ge (2a+3b+5c)^2 \) (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz)

\( (2a+3b+5c)^2\ge 38^2 \) (ipoteza)

Din ambele rezulta ce se cere in problema.

Nu-i buna formula, nu merge pentru n=1. Corect este
\( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \)

Se poate demonstra si asa: toti termenii sunt de forma \( 2k-1, k\in \{1,2,...,n} \)

\( 1=2\cdot 1-1 \)
\( 3=2\cdot 2-1 \)
\( 5=2\cdot 3-1 \)
...................
\( 2n-1=2\cdot n-1 \)

Suma \( = 2(1+2+...+n)-n=n(n+1)-n=n^2+n-n=n^2 \)

Nu, ca n-a impartit prin \( 4^3 \). A folosit ceva de genu \( a^3\ge b^3 \) daca si numai daca \( a\ge b \).

Aratati ca \( 2^n>n^3 \), pentru orice numar natural \( n\ge10 \).

Eu am facut-o intr-un fel, cu doua inductii, dar nu-mi prea place rezolvarea. A doua inductie am folosit-o ca sa arat ca \( 2n^3>(n+1)^3 \).

Notam x=|||a-b|-c|-d| => x\ge0 Avem doua cazuri: I). Luam e=5 (maxim) si x=0 (minim) => |x-e|=5. x poate fi 0 daca luam, de exemplu, a=2, b=1, c=4 si d=3. Deci ||||2-1|-4|-3|-5|=5 ar fi valoarea maxima. II). Luam e minim, e=1, si x maxim. Pentru x procedam la fel ca pentru |x-e| si obtinem ca valoar...

Metrul intins este un paralelipiped. Egalam volumul paralelipipedului cu volumul cikindrului.

Cu inductie. Daca luam n+1 intervale, teorema se aplica pent primele n intervale, care vor avea un element comun, de fapt chiar un interval mic comun. I_{n+1} are elemente comune cu fiecare din primele n intervale, deci a_{n+1}<b_k si b_{n+1}>a_k pentru orice k de la 1 la n. Mai trebuie scrise niste...

Este posibil sa construim in spatiu o linie franta inchisa, alcatuita din 2010 segmente, astfel incat lungimile segmentelor din care este alcatuita sa fie, in ordine, 1,2,3,...,2010, iar orice trei segmente consecutive sa fie perpendiculare doua cate doua? Problema a fost propusa la Concursul de eva...

Iese si fara trigonometrie. Notam E intersectia dintre MD si BC. Triunghiul BEM este isoscel (bisectoarea e si inaltime) cu BM=BE. Aplicam teorema lui Menelaus pentru triunghiul BME si transversala AC => CB/CE=2 => BC=2/3*BE=2/3*BM=1/3*AB.