Fie F un fascicol coerent pe un spatiu proiectiv P. Sa se arate ca daca \( H^0(P,F(-n))\neq 0 \) pentru o infinitate de \( n>0 \), atunci F contine un fascicol concentrat intr-un punct.
Mai e si o reciproca, dar aia nu e prea complicata.
Sectiuni in toate twisturile unui fascicol
Moderator: Mihai Fulger
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Cred că ideea, cu omiterea unor detalii, ar fi cam asta:
Pentru orice \( n \), fascicolul \( \mathcal F \) este izomorf cu produsul tensorial \( \mathcal{F}(-n)\otimes\mathcal{O}_P(n) \). Dacă pentru \( n \) mare am avea secţiuni cu suport infinit pentru \( \mathcal{F}(-n) \), atunci din izomorfismul de mai sus ar rezulta că dimensiunea spaţiului secţiunilor lui \( \mathcal F \) este arbitrar de mare, ceea ce e absurd. O să avem deci secţiuni nenule cu suport finit pentru \( \mathcal F(-n) \), adică şi secţiuni nenule cu suport constând dintr-un singur punct \( p \) pentru \( \mathcal F \).
Un exemplu de subfascicol al lui \( \mathcal F \) concentrat într-un punct va fi acum ceea ce de obicei se notează cu \( \mathcal{H}_p^0(\mathcal{F}) \), adică fascicolul secţiunilor lui \( \mathcal F \) care au suport conţinut in multimea \( \{p\} \). În plus, dacă \( \mathcal F \) e coerent, atunci şi \( \mathcal{H}_p^0(\mathcal{F}) \) este coerent (şi deci fascicolul căutat poate fi ales chiar coerent).
Pentru orice \( n \), fascicolul \( \mathcal F \) este izomorf cu produsul tensorial \( \mathcal{F}(-n)\otimes\mathcal{O}_P(n) \). Dacă pentru \( n \) mare am avea secţiuni cu suport infinit pentru \( \mathcal{F}(-n) \), atunci din izomorfismul de mai sus ar rezulta că dimensiunea spaţiului secţiunilor lui \( \mathcal F \) este arbitrar de mare, ceea ce e absurd. O să avem deci secţiuni nenule cu suport finit pentru \( \mathcal F(-n) \), adică şi secţiuni nenule cu suport constând dintr-un singur punct \( p \) pentru \( \mathcal F \).
Un exemplu de subfascicol al lui \( \mathcal F \) concentrat într-un punct va fi acum ceea ce de obicei se notează cu \( \mathcal{H}_p^0(\mathcal{F}) \), adică fascicolul secţiunilor lui \( \mathcal F \) care au suport conţinut in multimea \( \{p\} \). În plus, dacă \( \mathcal F \) e coerent, atunci şi \( \mathcal{H}_p^0(\mathcal{F}) \) este coerent (şi deci fascicolul căutat poate fi ales chiar coerent).
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
Rezolvarea e buna.
Detaliul care lipseste este urmatorul:
Daca \( \sigma:\mathcal O_X\to F(-n) \) este o sectiune cu suport infinit, atunci \( \sigma \) factorizeaza prin morfismul injectiv \( \sigma:\mathcal O_Z\to F(-n) \), pentru \( Z \) subschema de dimensiune pozitiva in \( X \).
Acestea induc o aplicatie injectiva \( \tau:\mathcal O_Z(n)\to F \) (pentru ca tensorizarea cu un fascicul inversabil este functor exact) si deci o aplicatie injectiva la nivelul sectiunilor globale.
Dar \( h^0(\mathcal O_Z(n)) \) creste la fel ca \( (\dim Z)^n \), iar \( h^0(F) \) este finit.
Detaliul care lipseste este urmatorul:
Daca \( \sigma:\mathcal O_X\to F(-n) \) este o sectiune cu suport infinit, atunci \( \sigma \) factorizeaza prin morfismul injectiv \( \sigma:\mathcal O_Z\to F(-n) \), pentru \( Z \) subschema de dimensiune pozitiva in \( X \).
Acestea induc o aplicatie injectiva \( \tau:\mathcal O_Z(n)\to F \) (pentru ca tensorizarea cu un fascicul inversabil este functor exact) si deci o aplicatie injectiva la nivelul sectiunilor globale.
Dar \( h^0(\mathcal O_Z(n)) \) creste la fel ca \( (\dim Z)^n \), iar \( h^0(F) \) este finit.