Sirul lui Lalescu
Posted: Fri Sep 28, 2007 5:42 pm
Sa se calculeze \( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!} \).
Scrii \( a_n=an+c_n \), unde \( c_n \) are proprietatea ca \( c_n/n\to 0 \) (*).
Inlocuiesti \( a_n \) in raportul ala si faci pe-acolo chestii de genul \( (1+1/x)^x \)... dupa care iti da cam asa:
\( \lim (\frac{a_{n+1}}{a_n})^n=e^{(a+c_{n+1}-c_n)/a} \).
Ai din ipoteza ca limita asta exista, deci trebuie ca \( c_{n+1}-c_n \) sa convearga.
Dar \( c_n/n\to 0 \) (asta e (*)) si din Cesaro-Stolz iti rezulta (asta pentru ca \( c_{n+1}-c_n \) are limita si NU pentru ca \( c_n/n\to 0 \)) ca \( c_{n+1}-c_n\to 0 \).
Cu noile informatii inlocuiesti in cerinte si obtii ceea ce vrei.