Functie continua, f(x)=integrala, atunci f=0

[Cezar Lupu]

Daca \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) este o functie continua cu proprietatea ca \( f(x)=\int_0^{\sin x} f(t)dt, \forall x\in\mathbb{R} \).
Sa se arate ca \( f(x)=0, \forall x\in\mathbb{R} \).

[aleph]

\( f \) este \( 2\pi \)-periodică, deci putem presupune \( x\in [0,2\pi] \).

Avem \( |f(x)|\leq\int_{0}^{x}|f| \)

Fie \( M=\sup \{|f(x)\| : x\in [0,2\pi] \} \).

Rezultă \( |f(x)|\leq Mx \), şi prin recurenţă \( |f(x)|\leq Mx^{n}/n!\rightarrow 0 \) (\( n\rightarrow \infty) \).
Deci \( f=0 \).