Tot despre cimpuri complete

[Liviu Ornea]

1. Aratati ca \( X=y^2\partial_x \) si \( Y=x^2\partial_y \) sint cimpuri vectoriale complete pe \( \mathbb{R}^2 \), dar \( X+Y \) nu e complet.

2. E adevarat ca orice cimp vectorial pe o varietate arbitrara \( M \) e suma a doua cimpuri complete?

[Dragos Fratila]

Arat doar ca X e complet (Y se face analog).
Fie a un punct din \( R^2, a=(a_1,a_2) \)
atunci vrem o curba \( \gamma:R\to R^2 \), cu \( \gamma(0)=a, \dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t)). \)

Daca \( \gamma=(\gamma_1,\gamma_2) \)atunci trebuie sa verifice ecuatia diferentiala:
\( \dot{\gamma_1(t)}=\gamma_2(t)^2 \), \( \gamma_2(t)=const \).
De aici rezulta ca \( \gamma_2(t)=a_2 \) si \( \gamma_1(t)=a_2^2t+a_1 \).

Pentru a demonstra ca X+Y nu e complet e suficient sa dem ca nu admite o curba integrala prin (1,1) care sa aiba domeniul tot \( \mathbb R \)-ul.
Pp prin absurd ca ar exista, fie \( \gamma \) aceasta. Atunci trebuie sa verifice urm sist de ec diff:

\( \dot{\gamma_i(t)}=\gamma_j(t)^2 \), (i,j)=(1,2) si (2,1)

Din acest sistem rezulta \( \gamma_1^3=\gamma_2^3+C \), C constanta. Din conditia initiala \( \gamma(0)=(1,1) \) rezulta ca C=0, deci \( \gamma_1=\gamma_2 \) si mai verifica ecuatia diferentiala:
\( \dot{\gamma_1(t)}=\gamma_1(t)^2 \).
\( \gamma_1\not\equiv 0 \), deci \( \gamma_1(t)=\frac1{t+C},C\in\mathbb{R} \). Din conditia initiala rezulta ca \( C=1 \). Observam ca domeniul maxim al lui \( \gamma_1 \) este \( (-1,\infty) \), adica nu este tot \( \mathbb{R} \)-ul, deci campul X+Y nu este complet.