Suma si produsul a doua functii crescatoare

[Andrei Velicu]

Se considera o functie \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \).
a) Daca pentru orice functie \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) strict crescatoare rezulta \( f+g \) crescatoare, atunci \( f \) este crescatoare.
b) Daca pentru orice functie \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) strict crescatoare rezulta \( fg \) strict crescatoare, atunci \( f \) este crescatoare.

Cristian Mangra, "Nicolae Coculescu" 2007

[turcas]

Se considera o functie \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \).
a) Daca pentru orice functie \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) strict crescatoare rezulta \( f+g \) crescatoare, atunci \( f \) este crescatoare.
b) Daca pentru orice functie \( g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) strict crescatoare rezulta \( fg \) strict crescatoare, atunci \( f \) este crescatoare.

Cristian Mangra, "Nicolae Coculescu" 2007

a) Pornim de la definitie. Fie \( x_1 , x_2 \in \mathbb{R} \) cu \( x_1 < x_2 \). Cum \( f+g \) - crescatoare \( f(x_1)+g(x_1) \leq f(x_2)+g(x_2). \) Atunci
\( [f(x_1)-f(x_2)] + \underbrace{[g(x_1)-g(x_2)]}_{<0} \leq 0 \).
Dar cum \( g \) este orice functie strict crescatoare \( \Rightarrow f(x_1)-f(x_2) \leq 0 \). Deci \( f \) este crescatoare.
b) Rezolvarea mea nu cred ca este corecta. Am gasit-o doar daca codomeniul functiilor este pozitiv. O scriu totusi.
\( f,g:\mathbb{R}\to (0,\infty) !! \)

Fie \( x_1 , x_2 \in \mathbb{R} \) cu \( x_1 < x_2 \).
Cum \( f \cdot g \) - crescatoare \( f(x_1) \cdot g(x_1) \leq f(x_2) \cdot g(x_2). \)
Atunci \( f(x_1) \cdot g(x_1) -f(x_1) \cdot g(x_2) + f(x_1) \cdot g(x_2) - f(x_2) \cdot g(x_2) \leq 0 \). Dar atunci

\( \underbrace{f(x_1) \cdot \left(g(x_1)-g(x_2) \right)}_{<0} +\underbrace{g(x_2)}_{>0} \cdot \left(f(x1)-f(x_2) \right) \leq 0 \).

Atunci cum \( \forall g:\mathbb{R}\to (0,\infty) \Rightarrow f(x_1)-f(x_2) \leq 0 \), deci \( f \) este crescatoare.