O inegalitate mai veche

[Alin Galatan]

[V. Cartoaje si M.Lascu] Fie \( a,b,c,d \in [1,3]. \) Sa se arate ca \( (a+b+c+d)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+d^2). \)

[Radu Titiu]

fie \( f:[1,3]-> R , f(a)=(a+b+c+d)^2-3(a^2+b^2+c^2+d^2) \)
f este o functie de gradul 2 cu coeficientul dominant mai mic decat 0 , deci f este concava.Minimul functiei se atinge atunci cand \( a \in \{1,3\} \).
Datorita simetriei rezulta ca minimul expresiei
\( E(a,b,c,d)=(a+b+c+d)^2-3(a^2+b^2+c^2+d^2) \) se atinge atunci cand \( a,b,c,d \in \{1,3\} \)

Fie p numarul variabilelor care sunt egale cu 1 si fie q numarul variabilelor egale cu 3 atunci
\( min E(a,b,c,d)= (p+3q)^2-3(p+9q) \)
tinand cont de relatia \( p+q=4 \) avem
\( (p+3q)^2-3(p+9q)= 4(q-1)^2 \geq 0 \) asadar \( E(a,b,c,d)\geq 0 \)
Egalitatea are loc in cazul in care q=1 adica (3,1,1,1) si permutarile.