Page 1 of 1
O problema draguta de geometrie
Posted: Tue Apr 27, 2010 3:57 pm
by Claudiu Mindrila
Fie triunghiul \( ABC \) in care \( \angle C=60^{\circ} \). Pe prelungirea laturii \( AC \) dincolo de \( C \) se ia punctul \( D \), iar pe prelungirea laturii \( BC \) dincolo de \( C \) se ia punctul \( E \) astfel incat \( BD=DE \). Daca \( AD=CE \) demonstrati ca triunghiul \( ABC \) este echilateral.
Calin Burdusel, Olimpiada Judeteana de Matematica, Dambovita, 2010
Posted: Wed May 12, 2010 5:05 pm
by Andi Brojbeanu
Deoarece \( BD=DE \), triunghiul \( BDE \) este isoscel.
Fie \( F \) mijlocul segmentului \( [BE] \). Atunci, \( DF \) mediana, deci si inaltime.
In triunghiul dreptunghic \( CDF \), masura unghiului \( \angle{DCF}(\equiv \angle {ACB}) \) este egala cu \( 60\textdegree \), deci masura unghiului \( \angle{CDF} \) este \( 30\textdegree \). Conform teoremei unghiului de \( 30\textdegree \), \( CD=2CF \).
Din \( AD=CE\Rightarrow AC+CD=CE\Rightarrow AC+2CF=CF+FE\Rightarrow AC=FE+CF-2CF=FE-CF=BF-CF=BC\Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este isoscel.
Deoarece \( m(ACB)=60\textdegree \) \( \Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este echilateral.
Posted: Wed May 12, 2010 6:15 pm
by Claudiu Mindrila
Uite cum m-am gandit eu:
Fie \( M \) al patrulea varf al paralelogramului \( DECM \). Cum \( DM=EC=DA \) si \( \widehat{ADM}=\widehat{C}=60^{\circ} \) rezulta ca \( \triangle{ADM} \) este echilateral.
Deoarece \( \triangle BDM\equiv\triangle DEC\ (LUL) \) rezulta ca \( \widehat{DMB}=\widehat{ECD}=60^{\circ} \).
Dar \( \widehat{DMB}=\widehat{DMA}=60^{\circ}\Longrightarrow M\in AB\Longrightarrow\widehat{A}=60^{\circ} \), c.c.t.d.