Fie triunghiul \( ABC \) in care \( \angle C=60^{\circ} \). Pe prelungirea laturii \( AC \) dincolo de \( C \) se ia punctul \( D \), iar pe prelungirea laturii \( BC \) dincolo de \( C \) se ia punctul \( E \) astfel incat \( BD=DE \). Daca \( AD=CE \) demonstrati ca triunghiul \( ABC \) este echilateral.
Calin Burdusel, Olimpiada Judeteana de Matematica, Dambovita, 2010
O problema draguta de geometrie
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
O problema draguta de geometrie
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Deoarece \( BD=DE \), triunghiul \( BDE \) este isoscel.
Fie \( F \) mijlocul segmentului \( [BE] \). Atunci, \( DF \) mediana, deci si inaltime.
In triunghiul dreptunghic \( CDF \), masura unghiului \( \angle{DCF}(\equiv \angle {ACB}) \) este egala cu \( 60\textdegree \), deci masura unghiului \( \angle{CDF} \) este \( 30\textdegree \). Conform teoremei unghiului de \( 30\textdegree \), \( CD=2CF \).
Din \( AD=CE\Rightarrow AC+CD=CE\Rightarrow AC+2CF=CF+FE\Rightarrow AC=FE+CF-2CF=FE-CF=BF-CF=BC\Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este isoscel.
Deoarece \( m(ACB)=60\textdegree \) \( \Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este echilateral.
Fie \( F \) mijlocul segmentului \( [BE] \). Atunci, \( DF \) mediana, deci si inaltime.
In triunghiul dreptunghic \( CDF \), masura unghiului \( \angle{DCF}(\equiv \angle {ACB}) \) este egala cu \( 60\textdegree \), deci masura unghiului \( \angle{CDF} \) este \( 30\textdegree \). Conform teoremei unghiului de \( 30\textdegree \), \( CD=2CF \).
Din \( AD=CE\Rightarrow AC+CD=CE\Rightarrow AC+2CF=CF+FE\Rightarrow AC=FE+CF-2CF=FE-CF=BF-CF=BC\Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este isoscel.
Deoarece \( m(ACB)=60\textdegree \) \( \Rightarrow \bigtriangleup{ABC} \) este echilateral.
Andi Brojbeanu
profesor, Liceul Teoretic "Lucian Blaga", Cluj-Napoca
profesor, Liceul Teoretic "Lucian Blaga", Cluj-Napoca
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
Uite cum m-am gandit eu:
Fie \( M \) al patrulea varf al paralelogramului \( DECM \). Cum \( DM=EC=DA \) si \( \widehat{ADM}=\widehat{C}=60^{\circ} \) rezulta ca \( \triangle{ADM} \) este echilateral.
Deoarece \( \triangle BDM\equiv\triangle DEC\ (LUL) \) rezulta ca \( \widehat{DMB}=\widehat{ECD}=60^{\circ} \).
Dar \( \widehat{DMB}=\widehat{DMA}=60^{\circ}\Longrightarrow M\in AB\Longrightarrow\widehat{A}=60^{\circ} \), c.c.t.d.
Fie \( M \) al patrulea varf al paralelogramului \( DECM \). Cum \( DM=EC=DA \) si \( \widehat{ADM}=\widehat{C}=60^{\circ} \) rezulta ca \( \triangle{ADM} \) este echilateral.
Deoarece \( \triangle BDM\equiv\triangle DEC\ (LUL) \) rezulta ca \( \widehat{DMB}=\widehat{ECD}=60^{\circ} \).
Dar \( \widehat{DMB}=\widehat{DMA}=60^{\circ}\Longrightarrow M\in AB\Longrightarrow\widehat{A}=60^{\circ} \), c.c.t.d.
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste