ONM 2010 Iasi Problema 4

[Andi Brojbeanu]

Intr-un triunghi isoscel \( ABC \) cu \( AB=AC \), bisectoarea unghiului \( B \) intersecteaza latura \( AC \) in punctul \( B^{\prime} \) si exista egalitatea \( BB^{\prime}+B^{\prime}A=BC \). Determinati masurile unghiurilor triunghiului \( ABC \).

[moldovan ana]

A fost cea mai tare din concurs ceva de tipul totul sau nimic, astfel 2 concurenti au luat 7 puncte si ceilalti 106 punctaje apartinand multimii {0,1,2} cu 1 punct pt.scrierea teoremei bisectoarei.

[Virgil Nicula]

Problema este (arhi)cunoscuta.

Fie triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB=AC \) . Bisectoarea unghiului \( \widehat {ABC} \) intalneste

latura \( [AC] \) in punctul \( D \) . Sa se arate ca \( BD+DA=BC\ \Longleftrightarrow\ B=40^{\circ} \) .

Metoda 1. Dreapta \( BC \) intalneste a doua oara cercul circumscris triunghiului \( ABD \) in punctul \( E \) . Se arata usor ca

\( AD=DE=EC \) si \( BD+DA=BC \) \( \Longleftrightarrow \) \( BD+DA=BE+EC \) \( \Longleftrightarrow \) \( BD=BE \) \( \Longleftrightarrow \) \( B=40^{\circ} \) .

Metoda 2. Notam \( B=C=2x \) . Se observa ca \( m(\angle ADB)=3x \) si \( BD+DA=BC \) \( \Longleftrightarrow \)

\( \frac {BD}{AB}+\frac {DA}{AB}=\frac {BC}{AB} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac {\sin 4x}{\sin 3x}+\frac {\sin x}{\sin 3x}=\frac {\sin 4x}{\sin 2x} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \sin 4x+\sin x=2\cos 2x\sin 3x \) \( \Longleftrightarrow \)

\( \sin 4x+\sin x=\sin 5x+\sin x \) \( \Longleftrightarrow \) \( \sin 4x=\sin 5x \) \( \Longleftrightarrow \) \( 9x=180^{\circ} \) \( \Longleftrightarrow \) \( B=40^{\circ} \) .

Observatie. Vezi mesajul XXXVI in blogul meu de pe www.mathlinks.ro

(sau un click pe semnatura mea) o extindere la un triunghi oarecare.

[Virgil Nicula]

O problema similara :

Fie triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( CA=CB \) . Bisectoarea unghiului \( \widehat {ABC} \) intalneste

latura \( [AC] \) in punctul \( D \) . Sa se arate ca \( BD+DA=BC\ \Longleftrightarrow\ C=36^{\circ} \) .

[andreiilie]

Si metoda cu prelungirea lui BD cu DA funtiona:) o sa o redactez si incerc sa o public azi, sau maine ( am nitica treaba acum) revin:)