ONM 2010 Iasi Problema 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
ONM 2010 Iasi Problema 2
Determinati cate numere naturale de patru cifre \( \overline{abcd} \) verifica simultan egalitatile \( a+b=c+d \) si \( a^2+b^2=c^2+d^2 \).
\( i) a+b=c+d \)
\( ii) a^2+b^2=c^2+d^2 \)
Din i) avem \( a-c=d-b \) si din ii) avem \( a^2-c^2=d^2-b^2 \Rightarrow (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) \) si daca \( a-c\neq d-b \neq 0 \) scoatem ca \( a+c=d+b \). Din i) prin scadere obtinem ca \( c-b=b-c \Rightarrow2c=2b \Rightarrow b=c \). Deci avem numere de forma \( \overline{abba} \).
Prin tratarea cazului \( a-c=d-b=0 \Rightarrow a=c, d=b \). Deci avem si numere de forma \( \overline{abab} \).
Acum pentru cazul numerelor de forma \( \overline{aaaa} \) nu stiu cum sa demonstrez, dar daca as fi fost in concurs as fi dedus usor.
Astfel daca il consideram demonstrat si pe ultimul vom avea : \( 9+9\cdot 9+9\cdot 9=171 \) numere cu proprietatea din enunt.
O rezolvare (cred eu) de 6,5 puncte.
\( ii) a^2+b^2=c^2+d^2 \)
Din i) avem \( a-c=d-b \) si din ii) avem \( a^2-c^2=d^2-b^2 \Rightarrow (a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) \) si daca \( a-c\neq d-b \neq 0 \) scoatem ca \( a+c=d+b \). Din i) prin scadere obtinem ca \( c-b=b-c \Rightarrow2c=2b \Rightarrow b=c \). Deci avem numere de forma \( \overline{abba} \).
Prin tratarea cazului \( a-c=d-b=0 \Rightarrow a=c, d=b \). Deci avem si numere de forma \( \overline{abab} \).
Acum pentru cazul numerelor de forma \( \overline{aaaa} \) nu stiu cum sa demonstrez, dar daca as fi fost in concurs as fi dedus usor.
Astfel daca il consideram demonstrat si pe ultimul vom avea : \( 9+9\cdot 9+9\cdot 9=171 \) numere cu proprietatea din enunt.
O rezolvare (cred eu) de 6,5 puncte.