Conc.interj."Grigore Moisil" Urziceni 2010 probl.3

[Andi Brojbeanu]

In triunghiul \( \bigtriangleup{ABC} \) punctele \( D \) si \( E \) apartin segmentului \( BC \), astfel incat \( AD\perp BC \) si \( AE \) bisectoarea unghiului \( \angle{BAC} \). Dreapta care uneste punctul \( D \) cu mijlocul segmentului \( AE \) intersecteza pe \( AC \) in \( N \), iar unghiul \( \angle{ABC} \) este de trei ori mai mare decat unghiul \( \angle{ACB} \).
Aratati ca \( DE\cdot DC=AN\cdot AC \).
Profesor Paunescu Constantin

[Andi Brojbeanu]

Notam \( m(\angle{ACB}) \) cu \( x \). Atunci \( m(\angle{ABC}=3x \), \( m(\angle{BAD})=90-3x, m(\angle{BAC})=180-4x, m(\angle{BAE})=\frac{m(\angle{BAC})}{2}=90-2x, m(\angle{DAE})=m(\angle{BAE})-m(\angle{BAD})=90-2x-90+3x=x=m(\angle{BCA}) \).
Deci, triunghiurile dreptunghice \( DAE \) si \( DCA \) sunt asemenea\( \Rightarrow \frac{DE}{AD}=\frac{AD}{DC}\Rightarrow AD^2=DE\cdot DC \).
\( DE\cdot DC=AN\cdot AC\Leftrightarrow AD^2=AN\cdot AC\Leftrightarrow \) triunghiurile \( AND \) si \( ADC \) sunt asemenea \( \Leftrightarrow m(\angle{ADN})=m(\angle{ACD})=x\Leftrightarrow \bigtriangleup{ADM} \) isoscel (unde \( M \) este mijlocul lui \( AE \)) \( \Leftrightarrow AM=DM \), adevarat intrucat \( DM \) este mediana in triunghiul dreptunghic \( ADE \), deci \( DM=\frac{AE}{2}=AM \).
Asadar, \( DE\cdot DC=AN\cdot AC \).