Norma operatorilor normali :)

[Liviu Paunescu]

Tot din teorie, dar util de stiut pentru oricine!

Un operator \( T\in B(H) \) este \( normal \) daca comuta cu adjunctul: \( TT^*=T^*T \). Aratati ca pentru un operator normal \( ||T^2||=||T||^2 \).

[Cezar Lupu]

Hmm, dar nu este de ajuns ca operatorul \( T:H\to H \) sa fie liniar si continuu?

[Liviu Paunescu]

Ia gaseste tu Cezar o matrice de 2 pe 2 nilpotenta de ordin 2.

[Cezar Lupu]

Hmm, evident ca exista o matrice nilpotenta 2 pe 2. De exemplu, matricea cu elementele \( 0 \) si \( 1 \) in coltul din sus dreapta. Ma rog, uite la ce approach ma gandeam eu:

Daca am \( \mathbb{H} \) un spatiu Hilbert si \( T\in L(\mathbb{H}) \) atunci se demonstreaza, nu foarte greu, ca \( ||TT^{*}||=||T||^2 \).
Pentru asta folosim inegalitatea cunoscuta \( ||T^2||\leq ||T||^2 \). Atunci pentru orice \( x\in\mathbb{H} \) avem \( ||Tx||^2=<Tx, Tx>=<T^{*}Tx, x>\leq ||T^{*}Tx||\cdot ||x|| \), ultima rezultand din Cauchy-Buniakovski. Mai departe, avem \( ||T^*Tx||\cdot ||x||\leq ||T^{*}T||\cdot ||x||^2 \). Astfel, rezulta ca \( ||T||^2\leq ||T^{*}T|| \) si de aici nu cred ca mai este mult, nu?

[Liviu Paunescu]

\( ||T^*T||=||T||^2 \) este ceea ce se numeste egalitatea de \( C^* \)-algebra. E o egalitate importanta, caracterizand intr-un anume sens, sens dat de teorema Gelfand-Naimark-Segal, algebra \( B(H) \). Mai e un rand de aici.

[Cezar Lupu]

Hmm, uitandu-ma asa fugitiv la diverse topicuri, mi-am dat seama ca m-am complicat inutil cand puteam sa fac direct asa:

\( ||T^2|| ^2=||(T^{2})^{*}T^{2} ||= ||T^{*}T^{*}TT||= \) \( ||T^{*}TT^{*}T||=||T^{*}T||^{2}=||T||^{4} \) si deci concluzia.

P.S. In demonstratia de mai sus am folosit conditia \( ||T^{*}T||=||T||^{2} \) valabila in orice \( C^{*} \)-algebra (iar \( B(H) \) este o \( C^{*} \)-algebra) , exact cum a zis si Liviu mai sus.