coeficient al unui polinom omogen

[Dragos Fratila]

Fie \( P \) un polinom omogen (cu coeficienti intregi/rationali/reali/complecsi) in variabilele \( T_1,...,T_r \) de grad(total) cel mult \( r \). Ne intereseaza coeficientul monomului \( T_1...T_r \).
Sa se demonstreze ca acest coeficient este
\( c = \sum_{I\subseteq\{1,...,r\}}(-1)^{|I|}P(-m_I) \) unde \( m_I = 1 \) pe pozitiile \( i\in I \) si \( 0 \) in rest (de ex. \( m_{\{1,3\}} = (1,0,1,0,0,...) \)).
Observatie: Daca gradul lui \( P \) este mai mic decat \( r-1 \) rezulta ca \( c=0 \).

________
Un monom este un polinom de forma \( \alpha T_1^{a_1}...T_r^{a_r} \) iar gradul (total) al sau este \( a_1+...+a_r \).
Un polinom se numeste omogen daca este suma de monoame de acelasi grad. (de ex. \( T_1^2-T_1T_2 \), \( T_1^4-T_2T_3^3+3T_1T_2^2T_3 \) sunt omogene)