Inele si categorii de module 2010

[dede]

Examen : Inele si categorii de module
Profesor: S. Dascalescu

1. (a) Definiti conceptele de modul liber, modul proiectiv si modul injectiv.
(b) Sa se arate ca un modul liber este proiectiv. Reciproc este adevarat?
(c) Sa se arate ca \( Q \) este \( Z \)-modul injectiv, dar nu este proiectiv.

2. (a) Definiti conceptele de modul Noetherian si modul Artinian.
(b) Sa se arate ca daca M este un R-modul si N un submodul al sau, atunci M este Noetherian daca si numai daca N si M/N sunt Noetheriene.
(c) Sa se dea exemplu de modul Noetherian care nu este Artinian si de modul Artinian care nu este Noetherian.
(d) Sa se arate ca un modul semisimplu este Noetherian daca si numai daca este Artinian.

3. (a) Modul indecompozabil: definitie.
(b) Fie R un inel comutativ fara divizori ai lui zero. Sa se arate ca R-modulul R este indecompozabil.
(c) Sa se determine inelele semisimple R care sunt indecompozabile ca R-module stangi.
(d) Sa se arate ca un modul Artinian este izomorf cu o suma directa finita de module indecompozabile.