Numere prime cu 10

[moldovan ana]

Am intalnit o problema de clasa 7-a tip baraj juniori la a carei rezolvare se afirma
"Orice numar prim cu 10 are un multiplu care se scrie cu aceeeasi cifra" si faceau trimitere la o carte scrisa de dl. Ion Cucurezeanu.

Va rog sa demonstrati!

[Marius Mainea]

Foloseste proprietatea:

Daca (a,b)=1, atunci exista m, n intregi astfel incat ma+nb=1.

[Marius Perianu]

Pentru fiecare \( n \geq 1 \) se noteaza \( a_n=11...1 \), cifra 1 aparând de \( n \)ori. Daca \( q \) este un numar prim cu 10, atunci printre numerele \( a_1, \ a_2, \ ..., \ a_{q+1} \) exista doua care dau acelasi rest la impartirea cu \( q \); fie acestea \( a_i \) şi \( a_j \), cu \( i<j \). Atunci \( q|a_j - a_i \) , si cum \( a_j-a_i = 10^i \cdot a_{j-i} \) , din faptul ca \( q \) este prim cu 10, rezulta ca \( q|a_{j-i} \).

[Laurian Filip]

Luand \( a_n=11...1 \) (de n ori) avem ca \( a_n=\frac{10^n-1}{9} \).

Fie p astfel incat (10,p)=1, de unde si (10,9p)=1.

Din Teorema lui Euler, avem ca \( a_{\varphi(9p)}=\frac{10^{\varphi(9p)}-1}{9} \) este divizibil cu p, unde cu \( \varphi(n) \) am notat Indicatorul lui Euler.

E posibil ca aceasta teorema sa fie si mai greu de demonstrat unui elev de a 7a, dar am dorit sa postez o solutie alternativa.

[Laurian Filip]

Incercam sa aratam ca oricare ar fi un numar k, \( (k,10)=1 \), exista un numar de forma 999..9 care sa fie multiplu al lui. Consideram descompunerea in factori primi a lui k, \( k=\prod_{i=1}^n p_i^{e_i} \). Evident \( (p_i,10)=1, (\forall) i\in \overline{1,n} \).

Altfel, din Mica Teorema a lui Fermat, avem ca oricare ar fi \( p_i \) un numar prim, \( (p_i,10)=1 \), stim ca \( 10^{p_i}-1 \vdots p_i \)
Asadar \( 999..9 \) de \( p_i-1 \) ori este divizibil cu \( p_i \)

Fie \( a_m=999...9 \) de m ori
Se observa ca daca
\( a_{p_i-1} \vdots p_i \) si
\( a_{p_j-1} \vdots p_j \) si
Atunci avem ca \( a_{(p_i-1) \cdot (p_j-1)} \vdots p_i \cdot p_j \). (daca nu e chiar atat de evident, voi completa maine)

De aici iese ca

\( a_{(p_1-1)^{e_1}\cdots (p_n-1)^{e_n}} \) este divizibil cu k