Concursul Nicolae Coculescu editia 2009 subiectul IV

[Andi Brojbeanu]

Sa se determine numerele reale care verifica simultan egalitatile
\( \frac{7y^2+z^2}{x^2+y^2}=\frac{y^2+4}{x}, \frac{7z^2+x^2}{y^2+z^2}=\frac{z^2+4}{y}, \frac{7x^2+y^2}{z^2+x^2}=\frac{x^2+4}{z} \).

Marius Perianu

[Marius Mainea]

Se observa ca toate numerele sunt pozitive.

Apoi sistemul este echivalent cu

\( (7y^2+z^2)x=(x^2+y^2)(y^2+4) \) si permutari circulare.

Dar aplicand inegalitatea mediilor

\( (7y^2+z^2)x=(x^2+y^2)(y^2+4)\ge2xy(y^2+4) \)

Prin simplificare cu x, \( (7y^2+z^2)\ge2y(y^2+4) \) si apoi prin adunare

\( 8\sum x^2\ge2\sum x^3+8\sum x \)

Insa deoarece \( x^3+4x\ge 2\sqrt{x^3\cdot 4x}=8x^2 \) avem egalitate, de unde \( x=y=z=2 \).

[Marius Perianu]

Dar aplicand inegalitatea mediilor \( (7y^2+z^2)x=(x^2+y^2)(y^2+4)\ge2xy(y^2+4) \)

Poti sa mai aplici o data inegalitatea mediilor: \( y^2+4 \geq 4y \), de unde rezulta ca \( x(7y^2+z^2) \geq 8xy^2 \).
Prin simplificare cu \( x \), obţinem \( 7y^2+z^2 \geq 8y^2 \), deci \( z^2 \geq y^2 \). Analog rezulta \( y^2 \geq x^2 \) si \( x^2 \geq z^2 \), deci \( x^2=y^2=z^2 \), adica \( x=y=z \).