Generalizarea unei pb a lui L. Panaitopol

[opincariumihai]

Fie \( (S , \cdot) \) un semigrup cu proprietatea ca exista \( a \in{S} \) astfel incat \( ax^3a=x \forall{x} \in{S} \). Aratati ca \( (S , \cdot) \) este monoid si in plus \( x^3=x \) \( \forall{x} \in{S} \).

Mihai Opincariu

Observatie: Daca S este grup se obtine, in conditiile problemei, ca \( x^2=e, \) de unde rezulta ca S este comutativ, adica rezultatul unei pb. semnate de L. Panaitopol.

[Marius Mainea]

Inlocuind pe x cu a obtinem \( a^3=a \).

Inlocuind pe x cu \( a^2xa \) :

\( (ax)^3a=a^2xa \) (*), deci \( a(ax)^3a=axa^2 \).

Asadar \( ax=axa^2 \) si inlocuind in aceasta relatie pe x cu \( x^3a \), \( ax^3a=ax^3aa^2 \), deci \( x=xa^2 \) de unde \( a^2 \) este element neutru la dreapta.

Analog se arata ca \( a^2 \) este element neutru la stanga, deci \( a^2 \) e element neutru.

Apoi inlocuind pe x cu\( x^3 \) in enunt obtinem \( x^9=x \) (**) se termina imediat...

Din (*)

\( xaxaxa=axa \) si apoi cu \( x^3 \) in loc de x, \( x^3ax^3ax^3=ax^3a \), deci \( x^7=x \) (***).

Din (**) si (***) rezulta \( x^3=x \).

[opincariumihai]

Cam asa era si solutia mea Multumesc !