1) Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere intregi. Daca ecuatia \( x^2+(a^2+b^2+c^2+1)x+ab+bc+ca=0 \) are radacini intregi, atunci triunghiul este echilateral.
I. Cucurezeanu
2) Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere intregi.Daca ecuatia \( x^2+(a+1)x+b-c=0 \) are radacini intregi, atunci triunghiul este isoscel.
I. Cucurezeanu
Ecuatii de gr II (3)
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
1. Ecuatia are radacini intregi, deci \( \Delta \) este patrat perfect.
\( \Delta =(a^2+b^2+c^2+1)^2-4(ab+bc+ca) \) este un patrat perfect mai mic decat \( (a^2+b^2+c^2+1)^2 \) si avand aceeasi paritate cu \( (a^2+b^2+c^2+1)^2 \). Prin urmare:
\( \Delta =(a^2+b^2+c^2+1)^2-4(ab+bc+ca)\le (a^2+b^2+c^2-1)^2 \)
Ultima inegalitate, dupa mici calcule, se scrie \( a^2+b^2+c^2\le ab+bc+ca \Longleftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 0 \)
\( \Longrightarrow a=b=c \).
Observatie:
Am aplicat urmatorul rezultat: Daca \( m \) si \( n \) sunt doua numere strict pozitive astfel incat au aceeasi paritate si \( n<m^2 \), atunci \( n\le (m-2)^2 \)
2. \( \Delta =(a+1)^2-4(b-c) \) este patrat perfect. Cum \( -a<b-c<a \)(inegalitatea triunghiului), rezulta \( (a-1)^2<\Delta <(a+1)^2+4a<(a+3)^2 \), deci \( \Delta =a^2,\ (a+1)^2,\ (a+2)^2 \).
Daca \( \Delta =a^2 \), atunci \( x_1=-\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \), iar daca \( \Delta =(a+2)^2 \), atunci \( x_1=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \).
Daca \( \Delta =(a+1)^2 \), atunci \( x_1=0 \), deci \( b=c \).
\( \Delta =(a^2+b^2+c^2+1)^2-4(ab+bc+ca) \) este un patrat perfect mai mic decat \( (a^2+b^2+c^2+1)^2 \) si avand aceeasi paritate cu \( (a^2+b^2+c^2+1)^2 \). Prin urmare:
\( \Delta =(a^2+b^2+c^2+1)^2-4(ab+bc+ca)\le (a^2+b^2+c^2-1)^2 \)
Ultima inegalitate, dupa mici calcule, se scrie \( a^2+b^2+c^2\le ab+bc+ca \Longleftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 0 \)
\( \Longrightarrow a=b=c \).
Observatie:
Am aplicat urmatorul rezultat: Daca \( m \) si \( n \) sunt doua numere strict pozitive astfel incat au aceeasi paritate si \( n<m^2 \), atunci \( n\le (m-2)^2 \)
2. \( \Delta =(a+1)^2-4(b-c) \) este patrat perfect. Cum \( -a<b-c<a \)(inegalitatea triunghiului), rezulta \( (a-1)^2<\Delta <(a+1)^2+4a<(a+3)^2 \), deci \( \Delta =a^2,\ (a+1)^2,\ (a+2)^2 \).
Daca \( \Delta =a^2 \), atunci \( x_1=-\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \), iar daca \( \Delta =(a+2)^2 \), atunci \( x_1=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \).
Daca \( \Delta =(a+1)^2 \), atunci \( x_1=0 \), deci \( b=c \).