Gh. Titeica 2009, problema 1

Laurentiu Tucaa · Post by **Laurentiu Tucaa** » Sun May 24, 2009 9:54 pm

Fie \( f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) de doua ori derivabila cu derivata a doua continua si cu proprietatea ca \( \lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty \) si \( (a_n) \) un sir de numere reale a.i. \( |a_{n+1}-a_n|\le f(a_n)-f(a_{n+1}) \) pt. orice n natural. Sa se arate ca \( \lim_{n\to\infty} (f^{\prime} (a_{n+1})-f^{\prime}(a_n))=0 \).

Sorin Micu

Laurentiu Tucaa · Post by **Laurentiu Tucaa** » Fri May 29, 2009 3:58 pm

Este clar ca sirul \( (f(a_n))_n \) este descrescator si fiindca limitele functiei la \( \pm\infty \) sunt \( +\infty \), cum functia este continua este marginita inferior, deci si sirul \( (f(a_n))_n \) este marginit inferior, deci din Weierstrass este convergent. Rezulta usor de aici ca \( (a_n) \) este sir Cauchy, deci convergent. Cum functia \( f^{\prime} \) este la randul ei derivabila, rezulta ca este continua, de aici rezultand ca exista limita la \( +\infty \) din \( f^{\prime}(a_n) \) si este finita, de aici rezulta ca limita din concluzia problemei este 0.

PS: Conditia ca functia este de 2 ori derivabila cu derivata continua mi se pare inutila, era suficient ca functia este derivabila cu derivata continua sau, sa zicem, de 2 ori derivabila pt. a sugera faptul ca prima derivata este continua.

Laurentiu Tucaa · Post by **Laurentiu Tucaa** » Mon Jun 01, 2009 5:37 pm

Rezolvarea aceasta a fost data de profesorul meu, domnul Octavian Stroe.