Traian Lalescu pentru Studenti 2009, Problema 4

[Beniamin Bogosel]

Fie \( A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{Z}) \) cu \( A \neq I_n \) si \( k \in \mathbb{N}^*,\ k\geq 3 \) astfel incat \( \hat{A}=\hat{I_n} \) in \( \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}_k) \). Aratati ca pentru orice \( p \in \mathbb{N}^* \) avem \( A^p\neq I_n \).

Cu \( \hat{A} \) s-a notat matricea cu elementele \( (\hat{a_{ij}) \) unde \( A=(a_{ij}) \).