Continuitate si progresii

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) continua a.i. exista \( a,b \in \mathbb{R},a<b \) cu proprietatea \( f(a)f(b)<0 \). Sa se demonstreze ca \( \forall n>2 \) exista o progresie aritmetica \( x_1<x_2<...<x_n \) astfel incat \( \sum_{i=1}^n f(x_i)=0 \).

[Beniamin Bogosel]

Fie \( \delta>0 \) si \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ g(x)=f(x)+f(x+\delta)+...+f(x+(n-1)\delta) \). Evident \( g \) e continua. Deoarece exista un punct in care \( f \) e strict pozitiva, exista un interval \( I \) centrat in acel punct a.i. \( f \) e strict pozitiva pe \( I \). Analog exista un interval \( J \) in care \( f \) este negativa.
Luam \( \delta \) ca fiind minimul dintre lungimile lui \( I,J \) impartit la \( n \). Atunci \( g \) are si valori strict negative si valori strict pozitive, deci se anuleaza, si exista o progresie ca si in enunt.