O problema cu colorari

[Mateescu Constantin]

Fiecare punct al planului se coloreaza cu una din culorile rosu sau albastru. Aratati ca exista in plan un dreptunghi cu toate varfurile de aceeasi culoare.

[Mateescu Constantin]

Consideram in plan \( 9 \) drepte paralele \( d_i,\ i\in\{1,\ 2,\ ...,\ 9\} \), si dreptele \( e,\ f,\ g \) perpendiculare pe \( d_i \).

Notam \( \{E_i\}=d_i\cap e,\ \{F_i\}=d_i\cap f,\ \{G_i\}=d_i\cap g,\ i\in\{1,\ 2,\ ...,\ 9\}. \)

Pentru fiecare \( i \), tripletul de puncte \( \(E_i,\ F_i,\ G_i\) \) poate fi colorat intr-unul din modurile:

(R, R, R);
(R, R, A);
(R, A, R);
(R, A, A);
(A, R, R);
(A, R, A);
(A, A, R);
(A, A, A), deci exista 2 triplete distincte cu aceeasi configuratie de culori.

Cum in primul triplet exista 2 puncte la fel colorate, acestea determina impreuna cu punctele corespunzatoare din celalalt triplet, dreptunghiul cautat.