O demonstratie a irationalitatii lui \pi

[Cezar Lupu]

Uitandu-ma prin niste foi pe care le aveam de ceva vreme am dat peste o nota matematica publicata de Ivan Niven in 1946 care demonstreaza ca \( \pi \) este numar irational. Avand in vedere simplitatea demonstratiei o voi reda in cele ce urmeaza.


Teorema. \( \pi \) este numar irational.

Demonstratie.

Presupunema prin reducere la absird ca \( \pi=\frac{a}{b} \) unde \( a, b \) sunt numere intregi pozitive. In acest sens vom defini polinoamele

\( f(x)=\frac{x^n(a-bx)^{n}}{n!} \) si \( F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-\ldots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x) \) und enumarul natural \( n \) va fi specificat mai tarziu. Cum \( n!f(x) \) are coeficienti intregi, iar termenii in \( x \) au gradul mai mic ca \( n \) atunci rezulta ca \( f(x) \) si \( f^{(i)}(x) \) au ca valori numere intregi pentru \( x=0 \) si de asemenea pentru \( x=\pi \). Astfel, pentru \( x=\pi=\frac{a}{b} \), tinand cont de faptul ca \( f(x)=f\left(\frac{a}{b}-x\right) \), printr-un calcul elementar, vom avea ca

\( (F^{\prime}(x)\sin x-F(x)\cos x)^{\prime}=F^{{\prime}{\prime}}(x)\sin x+F(x)\sin x=f(x)\sin x \) si integrand de la \( 0 \) la \( \pi \), vom obtine ca

\( \int_0^{\pi}f(x)\sin xdx=F(\pi)+F(0) \). Din faptul ca \( F(\pi)+F(0)\in\mathbb{Z} \), pentru \( 0<x<\pi \), vom avea ca

\( 0<f(x)\sin x<\frac{\pi^{n}a^{n}}{n!} \). Insa aceasta ultima relatie este falsa pentru \( n \) suficient de mare. Am obtinut o contradictie. Prin urmare teorema este demonstrata. \( \qed \)