Functie numerica

[Marius Mainea]

Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} si \( f :A\rightarrow A \) o functie cu urmatoarele proprietati :
a) \( f(f(x))=x,\ (\forall) x\in A \);
b) Exista o submultime B a lui A astfel incat :
\( b_1) \) B contine cinci elemente.
\( b_2) \) \( x>y\Rightarrow f(x)<f(y),(\forall) x,y\in B. \)
\( b_3) \) \( f(x)\in A\setminus B,(\forall)x \in B \).

Sa se demonstreze ca :

1) \( x>y \Rightarrow f(x)<f(y),\forall)x,y\in A\setminus B. \)
2) suma S=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) este constanta in raport cu f.

C. ,,Gh. Titeica'', 2004

[Mateescu Constantin]

a) Fie \( x_1<x_2<x_3<x_4<x_5 \) elementele lui \( B. \) Din 2) rezulta:

\( f(x_1)>f(x_2)>f(x_3)>f(x_4)>f(x_5)\ si\ A\setminus B=\{f(x_1),\ f(x_2),\ f(x_3),\ f(x_4),\ f(x_5)\} \)

Fie \( x,\ y\in A\setminus B\ si\ x>y. \) Atunci: \( x=f(x_i),\ y=f(x_j)\ cu\ i<j,\ i,j=\overline{1,\ 5} \)

Deci: \( f(x)=f(f(x_i))=x_i,\ f(y)=f(f(x_j))=x_j \) si \( i<j\ \Longrightarrow x_i<x_j\Longrightarrow f(x)<f(y) \)

Rezulta, de asemenea si ca \( x\neq y \Rightarrow f(x)\neq f(y),\ (\forall)x,\ y\in A \).

b) Demonstram ca: \( 1\leq x\leq 5\Rightarrow 6\leq f(x)\leq 10. \) Daca \( x\in B,\ \exists\ i\in \overline{1,\ 5} \) astfel incat \( x=x_i. \) Daca \( f(x_i)\leq 5 \), atunci exista in \( B \) \( i-1 \) numere distincte strict mai mici decat \( x_i \) si in \( A\setminus B \) \( 5-i \) numere distincte strict mai mici decat \( f(x_i) \). Cum \( x_i\leq 5 \) si \( f(x_i)\leq 5 \), rezulta ca am gasit \( (i-1)+(5-i)+1+1=6 \) numere distincte cuprinse intre 1 si 5, fals. Daca \( x\leq 5 \) si \( x\in A\setminus B,\ f(x)\in B \) si \( f(x)\leq 5 \) implica \( f(f(x))\geq 6 \), adica \( x\geq 6 \), contradictie.

In concluzie \( \{f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4),\ f(5)\}=\{6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\} \) si \( S=45 \).