Un patrat de latura 5 se imparte in 25 de patrate de latura 1. In fiecare patrat unitate se scrie cate un numar real strict pozitiv si mai mic decat 1 astfel incat:
- suma numerelor de pe fiecare linie este un numar natural
- suma numerelor de pe fiecare coloana este un numar natural
- suma celor 25 de numere este 11.
a) Sa se arate ca cel putin unul dintre cele 25 de numere este mai mare sau egal decat \( \frac{3}{5} \).
b) Daca un singur numar dintre cele 25 de numere este mai mare decat \( \frac{3}{5} \), sa se arate ca sumele numerelor de pe linia si coloana ce il contin sunt egale.
ONM problema 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
a) Presupunem ca toate numerele sunt strict mai mici decat \( \frac{3}{5} \). Atunci pe fiecare linie, suma numerelor este strict mai mica decat 5\( \cdot\frac{3}{5} \)=3, deci cel mult egala cu 2.
Atunci suma numerelor de pe patratul mare este mai mica decat 5\( \cdot \)2=10, deci <11, contradictie cu suma indicata in ipoteza. Atunci rezulta ca cel putin un numar este \( \geq \) cu \( \frac{3}{5} \).
b) Pe linia, respectiv coloana ce contine numarul maxim, suma numerelor este mai mica decat 4\( \cdot\frac{3}{5} \)+1=3,4, deci cel mult egala cu 3.
Dar pe restul liniilor si coloanelor, suma are valoarea maxima 2. Insa 11>2\( \cdot \)5. Deducem ca exista o linie si o coloana cu suma cifrelor minim 3, chiar cele care contin numarul maxim.
Atunci suma numerelor de pe patratul mare este mai mica decat 5\( \cdot \)2=10, deci <11, contradictie cu suma indicata in ipoteza. Atunci rezulta ca cel putin un numar este \( \geq \) cu \( \frac{3}{5} \).
b) Pe linia, respectiv coloana ce contine numarul maxim, suma numerelor este mai mica decat 4\( \cdot\frac{3}{5} \)+1=3,4, deci cel mult egala cu 3.
Dar pe restul liniilor si coloanelor, suma are valoarea maxima 2. Insa 11>2\( \cdot \)5. Deducem ca exista o linie si o coloana cu suma cifrelor minim 3, chiar cele care contin numarul maxim.
b) fie \( a_1 \) numarul mai mare decat \( \frac{3}{5} \).
Atunci celelalte numere pot fi cel mult egale cu 0,6.
Pe coloana 1 suma poate fi 2, la fel pe coloanele 2, 3, 4, iar pe coloana 5 toate numelerele pot fi egale cu 0.6, deci suma 3.
Pe randul 1 suma poate fi 3, iar pe celelalte randuri suma poate fi 2, ceea ce contravine cerintei.
Sa-mi explice cineva unde am gresit.
Multumesc.
Atunci celelalte numere pot fi cel mult egale cu 0,6.
Pe coloana 1 suma poate fi 2, la fel pe coloanele 2, 3, 4, iar pe coloana 5 toate numelerele pot fi egale cu 0.6, deci suma 3.
Pe randul 1 suma poate fi 3, iar pe celelalte randuri suma poate fi 2, ceea ce contravine cerintei.
Sa-mi explice cineva unde am gresit.
Multumesc.
Last edited by salazar on Tue Apr 21, 2009 8:36 pm, edited 2 times in total.
