Multimi dense in R

[Bogdan Cebere]

Fie \( f:R \to R \) o functie pentru care multimea punctelor in care \( f \) are limita finita la stanga este densa in \( R \). Sa se arate ca multimea punctelor in care \( f \) este continua este de asemenea densa in \( R \).

Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva

[Beniamin Bogosel]

Fie \( A=\{x \in \mathbb{R}: \exists f(x-0)\} \). Stim ca aderenta lui \( A \) este \( \mathbb{R} \), deci vom gasi elemente din \( A \) in orice interval netrivial.

Deoarece exista \( \lim_{x\to y, \\ x<y} f(x),\ \forall y \in A \) rezulta ca \( f \) e marginita pe \( [y-1,y] \) pentru orice \( y \in A \). Deoarece \( A \) este densa in \( \mathbb{R} \) rezulta ca \( f \) e marginita pe \( \mathbb{R} \). Astfel, limitele la dreapta nu pot fi infinite.

Cred ca enuntul ar implica faptul ca \( f \) are limite la dreapta in orice punct, dar nu imi iese acum demonstratia. Daca reusim sa demonstram asta, continuarea e urmatoarea:

Daca rationam acum analog pentru \( -f \) gasim ca si aceasta are limite la dreapta in orice punct. Astfel am demonstrat ca \( f \) are limite laterale in orice punct. Atunci \( f \) are numai discontinuitati de speta I. Din Teorema lui Froda (cel putin asa am gasit-o eu) rezulta ca multimea discontinuitatilor lui \( f \) este cel mult numarabila, adica multimea punctelor in care \( f \) este continua este densa in \( \mathbb{R} \).

[Bogdan Cebere]

Solutia autorilor nu foloseste teorema lui Froda, ci doar cateva observatii de analiza de a 11-a.

[Bogdan Cebere]

Solutia autorilor

Cum \( f \) are limita la stanga intr-un punct \( y_0 \) in orice interval \( I \), rezulta ca exista un interval inchis \( I_0 \) la stanga lui \( y_0 \) a.i. \( |f(x)-f(y)|<1,\forall x,y\in I_0 \). Analog, in \( I_0 \) exista un un punct in care \( f \) are limita la stanga si un interval inchis \( I_1 \) (apartinand lui \( I_0 \)) aflat la stanga acestui punct a.i. \( |f(x)-f(y)|<\frac{1}{2},\forall x,y \in I_1 \).
Astfel obtinem un sir de intervale inchise \( I_0,I_1,I_2,..,I_n \) care au cel putin un punct comun \( a \) si \( |f(a)-f(x)|<\frac{1}{2^n},\forall x\in I_n \). Rezulta ca \( f \) este continua in \( a\in I \), pentru oricare interval \( I \).

Observatie. Problema este din revista Recreatii Matematice.