Concursul Interjudetean "Moisil", Satu Mare, 2009

[mihai miculita]

Problema 1:
Sa se determine cifrele nenule a, b, c astfel incat sa aiba loc egalitatea:
\( \sqrt{a}+\sqrt{\overline{ab}}+\sqrt{\overline{abc}}+\sqrt{a+b+c}=\overline{cc}-\overline{bb}-\overline{aa} \).(Traian Tamaian).

Problema 2:
Sa se arate ca: \( 1+\frac{\sqrt{2}}{2^2}+\frac{\sqrt{3}}{3^2}+\dots+\frac{\sqrt{2009}}{2009^2}>\frac{2009}{1005} \).(Vasile Serdean).

Problema 3:
Se considera triunghiul ABC si M un punct din interiorul sau. Daca \( G_1, G_2, G_3 \) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor MAB, MBC, MCA si
\( G_1G_2 \)=13 cm, \( G_2G_3= \)20 cm si \( G_3G_1 \)=21 cm, sa se calculeze aria triunghiului ABC. (Vasile Serdean).

Problema 4:
Fie ABCD un trapez isoscel cu \( AB||CD, AB>CD \). Notam cu O punctul de intersectie al diagonalelor trapezului si fie M, N si P
mijloacele segmentelor [OC], [OB] si respectiv [AD]. Stiind ca PM=MN, aflati masurile unghiurilor triunghiului PMN. (Maria Mihet)

[salazar]

Problema 1:
Suma de numere irationale este un numar irational; cum partea dreapta este rationala\( \Longrightarrow \) fiecare nr. din partea stanga este rational;
\( \sqrt {a} \in N\Longrightarrow a\in {1,4,9} \)
1. \( a=1 \)\( \Longrightarrow \overline{ab}=16 \Longrightarrow b=6 \)
\( \sqrt {\overline {16c}}\in N\Longrightarrow c=9 \)
Verificam relatia:
\( 1+4+13+4=99-66-11 \)
\( 22=22 \) ADEVARAT
2. \( a=4 \)\( \Longrightarrow \overline{ab}=49\Longrightarrow b=9 \)
dar \( \overline{cc}-\overline{99}-\overline{44}\in N, \overline{cc}\le 99 \)FALS
3. a=9 \( \overline{cc}-\overline{bb}-\overline{99} \in N, \overline{cc},\overline{bb}\ge 11,\overline{cc},\overline{bb}\le 99 \)FALS
deci \( a=1, b=6, c=9 \)

[Laurian Filip]

Numerele \( a=\sqrt{2} \) si \( b=1-\sqrt{2} \) sunt irationale si suma lor e naturala.

[salazar]

Bine, dar \( \sqrt {a}+\sqrt{b} \), unde a, b sunt numere naturale, iar \( \sqrt{a},\sqrt{b}\in R-Q \) nu este irational?
Pp. ca este rational. Atunci:
\( \sqrt{a}+\sqrt{b}=k \), unde \( k\in Q \).
Ridicam la puterea a doua:
\( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=k^2 \)
\( a+2\sqrt{ab}+b=k^2 \)
\( a,b,k^2\in Q\Longrightarrow 2\sqrt{ab}\in Q,\sqrt{ab}\in Q \)
1. a, b patrate perfecte ceea ce contravine ipotezei.
2. a=b, de unde \( 2\sqrt{a}\in Q \), FALS.

[moldovan ana]

Sunt noua si nu stiu sa scriu cu formule si de aceea va rog ma scuzati pt. redactare si va rog sa-mi aratati cum folositi dvs. formulele, fractiile, radicalii,...

p2/
Radicalul de la numarator se muta prin simplificare la numitor si apoi se aplica inegalitatea MG<MA.

p3/
Se demonstreaza usor ca G1-G2 este paralela cu linia mijlocie din MBC si egala cu 2/3 din ea, etc.

p4/
Se demosntreaza usor ca MNP este echilateral deoarece N apartine cercului de diametru AD.