mateforum.ro

Rezolvati in numere naturale ecuatia \( x^{3}-y^{3}=2005\left(x^{2}-y^{2}\right) \).

Valentin Vornicu, lista scurta, 2005 (enunt partial)

\( x^3-y^3=2005(x^2-y^2) \)
\( (x-y)(x^2+xy+y^2)=2005(x-y)(x+y) \)
\( x^2+xy+y^2=2005(x+y) \)
\( x(x+y)+y^2=2005(x+y) \)
\( (x+y)(2005-x)=y^2 \)
\( 2005-x=\frac{y^2}{x+y} \)\( \Longrightarrow x+y|y^2\ (1) \)
\( x+y|x+y\ (\cdot y) \)
\( x+y|xy+y^2\ (2) \)
-scadem din (2) pe (1) si obtinem
\( x+y|xy \)
\( x+y|x^2+xy\Longrightarrow \)
\( x+y|x^2 \)
\( x+y|x^2-y^2 \)
\( x+y|(x+y)(x-y) \)
\( x+y|x-y \)
-de aici rezulta \( x|2y \) si analog \( y|2x \)
-fie \( 2y=xk,\ 2x=yp \)
De aici rezulta ca \( kp=4 \) de unde avem cazurile:
\( x=y,x=2y,y=2x \) pe care le analizam.
Sper sa nu fi gresit.