Rezolvati in numere naturale ecuatia \( x^{3}-y^{3}=2005\left(x^{2}-y^{2}\right) \).
Valentin Vornicu, lista scurta, 2005 (enunt partial)
Ecuatie in numere intregi pozitive
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
Ecuatie in numere intregi pozitive
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
\( x^3-y^3=2005(x^2-y^2) \)
\( (x-y)(x^2+xy+y^2)=2005(x-y)(x+y) \)
\( x^2+xy+y^2=2005(x+y) \)
\( x(x+y)+y^2=2005(x+y) \)
\( (x+y)(2005-x)=y^2 \)
\( 2005-x=\frac{y^2}{x+y} \)\( \Longrightarrow x+y|y^2\ (1) \)
\( x+y|x+y\ (\cdot y) \)
\( x+y|xy+y^2\ (2) \)
-scadem din (2) pe (1) si obtinem
\( x+y|xy \)
\( x+y|x^2+xy\Longrightarrow \)
\( x+y|x^2 \)
\( x+y|x^2-y^2 \)
\( x+y|(x+y)(x-y) \)
\( x+y|x-y \)
-de aici rezulta \( x|2y \) si analog \( y|2x \)
-fie \( 2y=xk,\ 2x=yp \)
De aici rezulta ca \( kp=4 \) de unde avem cazurile:
\( x=y,x=2y,y=2x \) pe care le analizam.
Sper sa nu fi gresit.
\( (x-y)(x^2+xy+y^2)=2005(x-y)(x+y) \)
\( x^2+xy+y^2=2005(x+y) \)
\( x(x+y)+y^2=2005(x+y) \)
\( (x+y)(2005-x)=y^2 \)
\( 2005-x=\frac{y^2}{x+y} \)\( \Longrightarrow x+y|y^2\ (1) \)
\( x+y|x+y\ (\cdot y) \)
\( x+y|xy+y^2\ (2) \)
-scadem din (2) pe (1) si obtinem
\( x+y|xy \)
\( x+y|x^2+xy\Longrightarrow \)
\( x+y|x^2 \)
\( x+y|x^2-y^2 \)
\( x+y|(x+y)(x-y) \)
\( x+y|x-y \)
-de aici rezulta \( x|2y \) si analog \( y|2x \)
-fie \( 2y=xk,\ 2x=yp \)
De aici rezulta ca \( kp=4 \) de unde avem cazurile:
\( x=y,x=2y,y=2x \) pe care le analizam.
Sper sa nu fi gresit.